logo

バーンスタイン分布:対の独立は相互独立を意味しない 📂数理統計学

バーンスタイン分布:対の独立は相互独立を意味しない

定義

(x,y,z){(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)}(x,y,z) \in \left\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) \right\} に対して、以下の確率質量関数を持つ分布を バーンスタイン分布bernstein distributionという。 p(x,y,z)=14 p(x,y,z) = {{1} \over {4} }

説明

バーンスタイン分布は、分布の条件をすべて満たしているけど、自然界に実際に存在する分布とは言い難い。‘ペアで独立ならば、相互に独立である’という命題の反例として提出されたもので、それ以外には特に意味はない。ただ、反例としては非常に直感的で、事実を覚えるのに大きな助けになる。

反証

一つの確率変数に対する周辺確率密度関数は以下の通りである。 fX(0)=fY(0)=fZ(0)=12fX(1)=fY(1)=fZ(1)=12 f_{X} (0) = f_{Y} (0) = f_{Z} (0) = {{1} \over {2}} \\ f_{X} (1) = f_{Y} (1) = f_{Z} (1) = {{1} \over {2}} 二つの確率変数に対する周辺確率密度関数は以下の通りである。 fX,Y(0,0)=fX,Y(1,0)=fX,Y(0,1)=fX,Y(0,1)=14fY,Z(0,0)=fY,Z(1,0)=fY,Z(0,1)=fY,Z(0,1)=14fX,Z(0,0)=fX,Z(1,0)=fX,Z(0,1)=fX,Z(0,1)=14 f_{X,Y} (0,0) = f_{X,Y} (1,0) = f_{X,Y} (0,1) = f_{X,Y} (0,1) = {{1} \over {4}} \\ f_{Y,Z} (0,0) = f_{Y,Z} (1,0) = f_{Y,Z} (0,1) = f_{Y,Z} (0,1) = {{1} \over {4}} \\ f_{X,Z} (0,0) = f_{X,Z} (1,0) = f_{X,Z} (0,1) = f_{X,Z} (0,1) = {{1} \over {4}} 従って、X,YX,YY,ZY,ZX,ZX,Z は独立であり、X,Y,ZX,Y,Z はペアで独立です。しかし、 14=fX,Y,Z(1,1,1)fX(1)fY(1)fZ(1)=18 {{1} \over {4}} = f_{X,Y,Z} (1,1,1) \ne f_{X} (1) f_{Y} (1) f_{Z} (1) = {{1} \over {8}} なので、X,Y,ZX,Y,Z は相互に独立ではない。