バーンスタイン分布:対の独立は相互独立を意味しない
📂数理統計学バーンスタイン分布:対の独立は相互独立を意味しない
定義
(x,y,z)∈{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)} に対して、以下の確率質量関数を持つ分布を バーンスタイン分布bernstein distributionという。
p(x,y,z)=41
説明
バーンスタイン分布は、分布の条件をすべて満たしているけど、自然界に実際に存在する分布とは言い難い。‘ペアで独立ならば、相互に独立である’という命題の反例として提出されたもので、それ以外には特に意味はない。ただ、反例としては非常に直感的で、事実を覚えるのに大きな助けになる。
反証
一つの確率変数に対する周辺確率密度関数は以下の通りである。
fX(0)=fY(0)=fZ(0)=21fX(1)=fY(1)=fZ(1)=21
二つの確率変数に対する周辺確率密度関数は以下の通りである。
fX,Y(0,0)=fX,Y(1,0)=fX,Y(0,1)=fX,Y(0,1)=41fY,Z(0,0)=fY,Z(1,0)=fY,Z(0,1)=fY,Z(0,1)=41fX,Z(0,0)=fX,Z(1,0)=fX,Z(0,1)=fX,Z(0,1)=41
従って、X,Y と Y,Z と X,Z は独立であり、X,Y,Z はペアで独立です。しかし、
41=fX,Y,Z(1,1,1)=fX(1)fY(1)fZ(1)=81
なので、X,Y,Z は相互に独立ではない。
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