📂動力学

SISモデル：再感染と慢性病

概要

SISモデルは、感染や情報の拡散において免疫や無関心などを考慮しないモデルだ。主にエピデミックではなくエンデミック、例えば風邪、インフルエンザ、性病、マラリアなどがSISモデルでモデリングされる。

モデル ¹

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \gamma I \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I \end{align*} $$

変数

• $S(t)$: $t$時点で病気にかかる可能性がある^susceptible集団の個体数を表す。
• $I(t)$: $t$時点で病気を伝える可能性がある^infectious集団の個体数を表す。情報拡散の文脈では、Informedの頭文字を取ることもある。
• $N(t) = S(t) + I(t)$: 全体の個体数を表す。バイタルダイナミクス^{vital dynamics}が考慮されない場合は通常保存量(定数)として扱われ、変数を全体の人口内の比率とする場合は、$N(t) = 1$とすることが多い。

パラメータ

• $\beta>0$: 感染率だ。
• $\gamma>0$: 回復率だ。

基本感染再生産数

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \gamma }}$$

定理

SISモデルは本質的にロジスティック成長モデルだ。

証明 ²

$$ {{d I} \over {d t}} = {{ \beta } \over { N }} S I - \gamma I $$ $S = N - I$であるため、 $$ \begin{align*} {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} ( N - I ) I - \gamma I \\ =& \left( (\beta - \gamma) - {{ \beta } \over { N }} I \right) I \end{align*} $$

ロジスティック成長モデル: $$ \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$

感染者$I$を基準に見れば、その数はロジスティックに成長する。

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