二項分布から近似される正規分布の分散安定化
📂確率分布論二項分布から近似される正規分布の分散安定化
例示
Y=Ynが二項分布Bin(n,p)に従うとすれば、
arcsinnY→DN(arcsinp,n/4)
- N(μ,σ2)は正規分布を意味する。
- →Dは分布収束を意味する。
説明
二項分布Bin(n,p)がn→∞の時、正規分布N(np,np(1−p))に収束するため、正規分布そのものに驚くべきものはない。しかし、このような変換をすることで、パラメーターpに関わらず一定の極限分布を得ることができる。これは、数式上のトリックであり、実際にどこで使われるかというよりも、大学1年生以降見ないと思っていたアークサインの微分法が使われる点が面白い。
Y/nにuを適用したu(Y/n)の分散がpに自由だと仮定しよう。十分に大きなnに対して、Y/n≈pなので、
テイラー展開すると、
u(nY)≈u(p)+(nY−p)u′(p)
両辺に期待値を取ると、u(Y/n)の平均はu(p)となり、分散はその性質によってVar(aX+b)=a2Var(X)となる、
[u′(p)]2np(1−p)
この分散がpに自由になるには、分子にあるp(1−p)と相殺するようにu′(p)の二乗を設定すればよい。したがって、ある定数cに対して
u‘(p)=dpdu(p)=p(1−p)c
と設定すると、u(p)の分散からpが消える。この微分方程式の解は、アークサイン関数の微分法で直接求めることができる。
逆三角関数の微分法:
(arcsinx)′=1−x21
微分方程式の解は次の通りであり、分母が少し違って見えるかもしれないが、検算してみるとpの微分のために正確に一致する。
u(p)=2carcsinp
cが何であれ、同じように微分方程式を立て、解くことができるため、何であっても関係ないが、見た目がきれいになるようにc=1/2とすると、例示で紹介した形になる。