波動関数の相対位相の重要性
説明
波動関数はしばしば次のように複素指数関数で表される。
$$ \psi = R e^{\i\theta} $$
このとき、式で物理的に意味があるのは$\psi$ではなく、$\left| \psi \right|^{2} = R^{2}$であるため、位相$\theta$の値は重要ではなく、変更しても構わない。
ただし、波動関数を他の二つの波動関数の和で表す場合は話が違う。この場合、各関数の位相を勝手に変えてはいけない。波動関数$\psi$が次のように二つの波動関数$\psi_{1}$と$\psi_{2}$の和で表されるとしよう。
$$ \psi_{1} = R_{1}e^{\i\theta_{1}}, \qquad \psi_2=R_{2}e^{\i\theta_2} \\ \psi = \psi_{1} + \psi_2 $$
$$ \begin{align} \left| \psi \right|^{2} = \psi^{\ast}\psi &= (\psi_{1}^{\ast}+\psi_2^{\ast})(\psi_{1}+\psi_2) \nonumber \\ &= | \psi_{1}|^{2} +|\psi_2|^{2}+ \psi_{1}^{\ast}\psi_2+\psi_2^{\ast}\psi_{1} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2} \color{blue}{\left[ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \right]} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} +2R_{1}R_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align} $$
$(1)$を見ると、式に$\theta_{1} - \theta_{2}$が含まれているので、各波動関数の位相を変えることはできないことがわかる。青い部分の解釈は次の通り。オイラーの公式によって$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$なので
$$ \begin{align*} &\quad\ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \\ &= \cos (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2) \\ &= [ \cos (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)]+[\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2)] \\ &= 2\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align*} $$