多変量t分布

定義

位置ベクトル$\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$と正の定符号を持つスケール行列$\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}$に対して、次の確率密度関数を持つ多変量分布$t_{p} \left(\nu; \mu , \Sigma \right)$を多変量t分布^{multivariate t-distribution}と呼ぶ。

$$ f (\textbf{x}) = {{ \Gamma \left[ (\nu + p) / 2 \right] } \over { \Gamma ( \nu / 2) \sqrt{ \nu^{p} \pi^{p} \det \Sigma } }} \left[ 1 + {{ 1 } \over { \nu }} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right)^{T} \Sigma^{-1} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right) \right] \qquad , \textbf{x} \in \mathbb{R}^{p} $$

説明

$p = 1$であり、それから$\mu \in \mathbb{R}^{1}$であり、$\Sigma \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$のとき、上記の確率密度関数は自由度$\nu$の一変量t分布の確率密度関数と正確になる。
$\nu = 1$のときt分布がコーシー分布になったように、多変量t分布も同様に多変量コーシー分布となる。