📂量子力学

運動量と位置の交換子

公式

位置と運動量演算子の交換子は次の通りだ。

$$\begin{align} [p, x] &= -\i \hbar \\ [x, p] &= \i \hbar \end{align}$$

この式を標準交換関係式^{canonical commutation relation}と言う。位置の二乗と運動量の交換子は以下の通りだ。

$$\begin{align} [x^{2}, p] &= 2 \i \hbar x \\ [p, x^{2}] &= -2 \i \hbar x \end{align}$$

説明

運動量演算子 $p = \i\hbar \dfrac{d}{dx}$が微分演算子なので、それぞれの違う座標についてはすべて交換可能だ。

$$[x,p_{y}]=[x,p_{z}]=[y,p_{x}]=[y,p_{z}]=[z,p_{x}]=[z,p_{y}] = 0$$

これを次のように整理できる。

$$[x_{k}, p_{x_{\ell}}] = \i \hbar \delta_{k\ell} \\[1em] [p_{x_{k}}, x_{\ell}] = - \i \hbar \delta_{k\ell}$$

ここで、$\delta_{k\ell}$はクロネッカーのデルタだ。

証明

$D_{x}$を微分演算子とする。

$$D_{x} := \frac{d}{dx}$$

そして、導関数 $\dfrac{df}{dx}$を簡単に次のように表記する。

$$f_{x} = \dfrac{df}{dx} = D_{x}f$$

$(1), (2)$

運動量演算子が$p=-\i \hbar \dfrac{d}{dx} = -\i \hbar D_{x}$なので、次を得る。

$$\begin{align*} [p, x] \psi &= px\psi - xp\psi \\ &= -\i \hbar D_{x} (x\psi) + \i \hbar x D_{x}\psi \\ &= -\i \hbar\psi - \i \hbar x \psi_{x} + \i \hbar x\psi_{x} \\ &= -\i \hbar \psi \end{align*}$$

したがって

$$[p,x] = -\i\hbar= \dfrac{\hbar}{\i}$$

また、$[x,p] = -[p, x]$なので

$$[x,p] = -[p,x] = \i \hbar$$

■

$(3), (4)$

$$\begin{align*} [x^{2},p]\psi &= x^{2}p\psi-px^{2}\psi \\ &= x^{2}(-\i\hbar D_{x}\psi) + \i\hbar D_{x}(x^{2}\psi) \\ &= -\i\hbar x^{2}\psi_{x} + \i\hbar2x\psi + \i\hbar x^{2}\psi_{x} \\ &= 2\i\hbar x \psi \end{align*}$$

したがって

$$[x^{2},p] = 2 \i\hbar x$$

■

---

交換子の性質 (4)によって、

$$[ AB, C ] = A [ B, C ] + [ A, C ] B$$

交換子の性質によって、次のように計算される。

$$\begin{align*} [x^{2}, p] &= x[x,p] + [x,p]x \\ &= x \i \hbar +\i \hbar x \\ &= 2 \i \hbar x \end{align*}$$

■