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運動量の期待値が常に実数であることを証明 📂量子力学

運動量の期待値が常に実数であることを証明

要約

運動量演算子の期待値 ⟨p⟩\langle p \rangle は常に実数だ。

説明

実際、運動量演算子だけでなく全てのエルミート演算子の固有値は常に実数だ。

証明

運動量の期待値は以下の通りだ。

⟨p⟩=∫ψ∗(ℏi∂∂x)ψdx \displaystyle \langle p \rangle = \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx

さらに、運動量の期待値の複素共役は以下の通りだ。⟨p⟩∗=∫ψ(ℏ−i∂∂x)ψ∗dx \displaystyle \langle p \rangle ^{\ast}= \int \psi \left( \frac{\hbar}{-i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi^{\ast} dxこの二つの値を引いて0になれば証明終了。

⟨p⟩−⟨p⟩∗=ℏi∫(ψ∗∂ψ∂x+ψ∂ψ∗∂x)dx=ℏi∫∂∂x(ψ∗ψ)dx=ℏi[ψ∗ψ]−∞+∞=0 \begin{align*} \langle p \rangle -\langle p \rangle ^{\ast} &= \frac{\hbar}{i} \int \left( \psi^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast} \psi \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \left[ \psi^{\ast}\psi \right] ^{+\infty}_{-\infty} \\ &= 0 \end{align*}

最後の等号は波動関数が ψ(±∞)=0\psi (\pm \infty) = 0 を満たさなければならないため成り立つ。

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