1+1+1+1+1+⋯=-1/12 の解析的証明
定理
$$ \begin{align*} & 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }} \\ =& \zeta (0) \\ =& -{{ 1 } \over { 2 }} \end{align*} $$
説明
正の数をずっと足していくのにどうして負の数が出るんだって集中するなら、このポストを絶対に理解できないよ。キーは$\sum_{n \in \mathbb{N}} 1$がディリクレ級数$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }}$として表されて、その解析的継続であるリーマンゼータ関数$\zeta$の関数値$\zeta (0)$で計算するってこと。正確に証明を理解しようともせず、自分が簡単に扱える部分だけを持ってきて「とにかく等式が成り立ってないじゃん？」とか「これで矛盾を示せるけど？」みたいな態度を見せるなら、知らないほうがましだよ。厳密に言うと、このポストで紹介するのは事実上等式 $$ \zeta (0) = - {{ 1 } \over { 2 }} $$ に対する証明だけだから注意してね。
証明1
リーマンゼータ関数は$\mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\}$から解析的だから$s = 0$から連続で、だから $$ \zeta (0) = \lim_{s \to 0} \zeta (s) $$
リーマンの関数方程式: $$ \zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s) $$
$z=0$でガンマ関数$\Gamma (1-z)$の関数値は$\Gamma (1) = 0! = 1$だから、$s \to 0$の時 $$ 2^{s} \to 1 \\ \pi^{s-1} \to {{ 1 } \over { \pi }} \\ \Gamma (1-s) \to 1 $$ 一方、極限$\displaystyle \lim_{s \to 0}$で $$ \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \to 0 \\ \zeta (1-s) \to \infty $$ はキャンセルされることになる。
サイン関数のテイラー展開: $$ \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } $$
リーマンゼータ関数のローラン展開: $$ \zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s 1 $$
ここで$\gamma_{n}$は次のように定義される$n$番目のスティルチェス定数。
$$ \gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right) $$
$\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right)$のテイラー展開と$\zeta (1-s)$のローラン展開に従って
$$ \begin{align*} \lim_{s \to 0} \zeta (s) =& \lim_{s \to 0} 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s) \\ =& \lim_{s \to 0} 1 \cdot {{ 1 } \over { \pi }} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \cdot 1 \cdot \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ {{ \pi s } \over { 2 }} - {{ \pi^{3} s^{3} } \over { 48 }} + \cdots \right] \left[ -{{ 1 } \over { s }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ s^{n} } \over { n! }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ - {{ \pi } \over { 2 }} + O (s) \right] \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} \end{align*} $$
■