1+1+1+1+1+⋯=-1/12 の解析的証明
📂関数1+1+1+1+1+⋯=-1/12 の解析的証明
定理
===1+1+1+1+1+⋯n∈N∑n01ζ(0)−21
説明
正の数をずっと足していくのにどうして負の数が出るんだって集中するなら、このポストを絶対に理解できないよ。キーは∑n∈N1がディリクレ級数n∈N∑n01として表されて、その解析的継続であるリーマンゼータ関数ζの関数値ζ(0)で計算するってこと。正確に証明を理解しようともせず、自分が簡単に扱える部分だけを持ってきて「とにかく等式が成り立ってないじゃん?」とか「これで矛盾を示せるけど?」みたいな態度を見せるなら、知らないほうがましだよ。厳密に言うと、このポストで紹介するのは事実上等式
ζ(0)=−21
に対する証明だけだから注意してね。
証明
リーマンゼータ関数はC∖{1}から解析的だからs=0から連続で、だから
ζ(0)=s→0limζ(s)
リーマンの関数方程式:
ζ(s)=2sπs−1sin(2πs)Γ(1−s)ζ(1−s)
z=0でガンマ関数Γ(1−z)の関数値はΓ(1)=0!=1だから、s→0の時
2s→1πs−1→π1Γ(1−s)→1
一方、極限s→0limで
sin(2πs)→0ζ(1−s)→∞
はキャンセルされることになる。
サイン関数のテイラー展開:
sinx=n=0∑∞(2n+1)!x2n+1(−1)n
リーマンゼータ関数のローラン展開:
ζ(s)=s−11+n=0∑∞γnn!(1−s)n,s1
ここでγnは次のように定義されるn番目のスティルチェス定数。
γn:=m→∞limk=1∑m(k(logk)n−n+1(logm)n)
sin(2πs)のテイラー展開とζ(1−s)のローラン展開に従って
s→0limζ(s)======s→0lim2sπs−1sin(2πs)Γ(1−s)ζ(1−s)s→0lim1⋅π1sin(2πs)⋅1⋅ζ(1−s)π1s→0limsin(2πs)ζ(1−s)π1s→0lim[2πs−48π3s3+⋯][−s1+n=0∑∞γnn!sn]π1s→0lim[−2π+O(s)]−21
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