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1+1+1+1+1+⋯=-1/12 の解析的証明 📂関数

1+1+1+1+1+⋯=-1/12 の解析的証明

定理

1+1+1+1+1+=nN1n0=ζ(0)=12 \begin{align*} & 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\ =& \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }} \\ =& \zeta (0) \\ =& -{{ 1 } \over { 2 }} \end{align*}

説明

正の数をずっと足していくのにどうして負の数が出るんだって集中するなら、このポストを絶対に理解できないよ。キーはnN1\sum_{n \in \mathbb{N}} 1がディリクレ級数nN1n0\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{0} }}として表されて、その解析的継続であるリーマンゼータ関数ζ\zetaの関数値ζ(0)\zeta (0)で計算するってこと。正確に証明を理解しようともせず、自分が簡単に扱える部分だけを持ってきて「とにかく等式が成り立ってないじゃん?」とか「これで矛盾を示せるけど?」みたいな態度を見せるなら、知らないほうがましだよ。厳密に言うと、このポストで紹介するのは事実上等式 ζ(0)=12 \zeta (0) = - {{ 1 } \over { 2 }} に対する証明だけだから注意してね。

証明1

リーマンゼータ関数はC{1}\mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\}から解析的だからs=0s = 0から連続で、だから ζ(0)=lims0ζ(s) \zeta (0) = \lim_{s \to 0} \zeta (s)

リーマンの関数方程式: ζ(s)=2sπs1sin(πs2)Γ(1s)ζ(1s) \zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s)

z=0z=0ガンマ関数Γ(1z)\Gamma (1-z)の関数値はΓ(1)=0!=1\Gamma (1) = 0! = 1だから、s0s \to 0の時 2s1πs11πΓ(1s)1 2^{s} \to 1 \\ \pi^{s-1} \to {{ 1 } \over { \pi }} \\ \Gamma (1-s) \to 1 一方、極限lims0\displaystyle \lim_{s \to 0}sin(πs2)0ζ(1s) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \to 0 \\ \zeta (1-s) \to \infty はキャンセルされることになる。

サイン関数のテイラー展開: sinx=n=0x2n+1(2n+1)!(1)n \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }

リーマンゼータ関数のローラン展開: ζ(s)=1s1+n=0γn(1s)nn!,s1 \zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s 1

ここでγn\gamma_{n}は次のように定義されるnn番目のスティルチェス定数。

γn:=limmk=1m((logk)nk(logm)nn+1) \gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right)

sin(πs2)\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right)のテイラー展開とζ(1s)\zeta (1-s)のローラン展開に従って

lims0ζ(s)=lims02sπs1sin(πs2)Γ(1s)ζ(1s)=lims011πsin(πs2)1ζ(1s)=1πlims0sin(πs2)ζ(1s)=1πlims0[πs2π3s348+][1s+n=0γnsnn!]=1πlims0[π2+O(s)]=12 \begin{align*} \lim_{s \to 0} \zeta (s) =& \lim_{s \to 0} 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s) \\ =& \lim_{s \to 0} 1 \cdot {{ 1 } \over { \pi }} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \cdot 1 \cdot \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ {{ \pi s } \over { 2 }} - {{ \pi^{3} s^{3} } \over { 48 }} + \cdots \right] \left[ -{{ 1 } \over { s }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ s^{n} } \over { n! }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { \pi }} \lim_{s \to 0} \left[ - {{ \pi } \over { 2 }} + O (s) \right] \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} \end{align*}