📂動力学

数理生物学におけるアリー効果

アリー効果とは？ ¹

個体群の密度が低い時に人口が減少する効果をアリー効果^{Allee effect}という。数式的には次のようにモデルで$N$に対する関数$a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を上に凸なコンベックス関数として表現する。

$$\dot{N} = a(N) N$$

変数

• $N(t)$: $t$時点での集団の個体数を表す。

例

アリー効果は例として関数$a$を次のような二次関数として仮定することができる。

$$a(N) := - a_{2} N^{2} + a_{1} N - a_{0} \qquad , a_{2} ,a_{1}, a_{0} > 0$$

個体群の密度が低い時に人口が減少するということは、有性生殖をする種がパートナーを見つけられない状況と考えることができる。自分で繁殖できる個体であれば、同じ餌や生活領域をめぐって競争する同種がいないため、同種がいない方が繁殖しやすいが、交尾を通じて繁殖する種の場合は、同種があまりいないこと自体が絶滅の原因になることがある。

誘導

ロジスティック成長モデル: $$\dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N )$$

ロジスティック成長モデルでは、全体の個体ではなく個々の個体の平均的成長率は、両辺を$N$で割ることによって得られる。 $${{ \dot{N} } \over { N }} = {{ r } \over { K }} ( K - N )$$ これをグラフに表すと上のように個々の成長率が線形であることが確認できる。個体数が少なすぎる時に成長できないことを反映するように修正しよう。

上のように上に凸な関数$a$を考えてみると $${{ \dot{N} } \over { N }} = a(N)$$ はアリー効果を適用した成長モデルとなる。

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