📂微分積分学

調和級数

定義

次の級数を調和級数^{harmonic series}という。

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots$$

説明

発散判定法の代表的な反例である。つまり、調和数列は収束するが、調和級数は発散する。

$$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty$$

一方、交代調和級数は収束する。

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} = \ln 2$$

収束性

調和級数は発散する。

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \infty$$