三段論法の数理論理的証明
📂集合論三段論法の数理論理的証明
法則
次の仮説命題を三段論法syllogismと言う。
(p→q)∧(q→r)⟹p→r
説明
三段論法を知らない人はいないし、わざわざ説明する必要もないと思われる。古代の哲学的議論でない限り、わざわざ「三段論法によって」という言葉を使うことは少ない。それほどに我々にとって馴染み深い論法であり、普遍的に正しい原理だからだ。
しかし、三段論法が証明されるものであり、証明しなければならないと思う人はあまりいなかったはずだ。数学で使用する論理記号を利用して三段論法を証明してみよう。
証明
条件付きの論理的同値性:
p→q≡(¬p∨q)⋯⋆
様々な恒真命題:
- [2] 簡素化法則:
p∧q⟹pp∧q⟹q
- [7] 結合法則:
(p∧q)∧r⟺p∧(q∧r)(p∨q)∨r⟺p∨(q∨r)
- [8] 分配法則:
p∧(q∨r)⟺(p∧q)∨(p∧r)p∨(q∧r)⟺(p∨q)∧(p∨r)
(p→q)⟺(¬p∨q) ので
⟺⟺⟹⟹⟹(p→q)∧(q→r)(¬p∨q)∧(¬q∨r)(¬p∧¬q)∨(¬p∧r)∨(q∧¬q)∨(q∧r)¬p∨¬p∨c∨r¬p∨rp→r∵⋆∵[7],[8]∵[2]∵⋆
ここで、c は矛盾を意味する。
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