📂集合論

三段論法の数理論理的証明

法則 ¹

次の仮説命題を三段論法^syllogismと言う。 $$ ( p \to q ) \land ( q \to r ) \implies p \to r $$

説明

三段論法を知らない人はいないし、わざわざ説明する必要もないと思われる。古代の哲学的議論でない限り、わざわざ「三段論法によって」という言葉を使うことは少ない。それほどに我々にとって馴染み深い論法であり、普遍的に正しい原理だからだ。

しかし、三段論法が証明されるものであり、証明しなければならないと思う人はあまりいなかったはずだ。数学で使用する論理記号を利用して三段論法を証明してみよう。

証明

条件付きの論理的同値性: $$ p \to q \equiv \left( \lnot p \lor q \right) \qquad \cdots \star $$

様々な恒真命題:

• [2] 簡素化法則: $$ p \land q \implies p \\ p \land q \implies q $$
• [7] 結合法則: $$ (p \land q) \land r \iff p \land (q \land r) \\ (p \lor q) \lor r \iff p \lor (q \lor r) $$
• [8] 分配法則: $$ p \land (q \lor r) \iff (p \land q) \lor (p \land r) \\ p \lor (q \land r) \iff (p \lor q) \land (p \lor r) $$

$( p \to q ) \iff (\lnot p \lor q)$ ので $$ \begin{align*} & ( p \to q ) \land ( q \to r ) \\ \iff & (\lnot p \lor q) \land (\lnot q \lor r) & \because \star \\ \iff & (\lnot p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land r) \lor (q \land \lnot q) \lor (q \land r) & \because [7], [8] \\ \implies& \lnot p \lor \lnot p \lor c \lor r & \because [2] \\ \implies& \lnot p \lor r \\ \implies& p \to r & \because \star \end{align*} $$ ここで、$c$ は矛盾を意味する。

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