フーリエ変換の複数の定義と記法
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概要
フーリエ変換の定義や記法は、作者のニーズや好みによってさまざまに表れる。だから、教科書や講義、論文などでフーリエ変換を扱う前に、定義や記法をしっかりと把握しておくことが多い。知っている概念だと思って定義を省略して読んでいると、式がおかしいと感じることがあるので、よく確認する必要がある。もちろん、最も重要なのは、これらの定義が本質的に全て同じであることなので、記法や定義自体について大きく心配する必要はない。この文書では、各定義の長所と短所、そして違いについて紹介する。
説明
フーリエ変換は、周期が実数全体である関数のフーリエ級数を考える過程から自然に導かれる。その過程で、フーリエ変換とフーリエ逆変換は次のように定義される。
フーリエ変換 | フーリエ逆変換 |
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f^(ξ):=∫−∞∞f(x)e−iξxdx | f(x):=2π1∫−∞∞f^(ξ)eiξxdξ |
ここで、^は「ハット」と読む。f^(ξ)は「エフハット クシ」と読む。作用素としての感じ、積分変換としての感じを強調したいときや、微分を意味する′記号と^記号を一緒に使う必要があるとき、または混乱を避けるために、以下のような記法で書くこともある。
フーリエ変換 | フーリエ逆変換 |
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F:L1→L1 | F−1:L1→L1 |
Ff(ξ):=∫−∞∞f(x)e−iξxdx | F−1f(x):=2π1∫−∞∞f(ξ)eiξxdξ |
Fも使われることがある。記法の違いはあるが、フーリエ変換自体の定義も以下のように異なる場合がある。
フーリエ変換 | フーリエ逆変換 |
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f^(ξ):=2π1∫−∞∞f(x)e−iξxdx | f(x):=2π1∫−∞∞f^(ξ)eiξxdξ |
f^(ξ):=∫−∞∞f(x)e−2πiξxdx | f(x):=∫−∞∞f^(ξ)e2πiξxdξ |
説明の便宜のため、上記の各定義を以下のように表記しよう。
f~(ξ):=2π1∫−∞∞f(x)e−iξxdxandfˇ(ξ):=∫−∞∞f(x)e−2πiξxdx
フーリエ変換の定義が多様な理由は、下記の表から見ることができる。
プランシェレルの定理 | 畳み込み | 導関数のフーリエ変換 |
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∥f^∥2=2π∥f∥2 | (f∗g)^=f^g^ | (f′)^(ξ)=iξf^(ξ) |
∥f~∥2=∥f∥2 | (f∗g)~=2πf~g~ | (f′)~(ξ)=iξf~(ξ) |
∥fˇ∥2=∥f∥2 | (f∗g)ˇ=fˇgˇ | (f′)ˇ(ξ)=2πiξfˇ(ξ) |
この表から見てわかるように、定義によっては、定数2πが出現する式が異なる場合がある。したがって、どのような式を簡単にしたいかによって、定義が異なる場合がある。経験的には、信号や画像処理分野ではfˇのような定義が多く使われる。また、フーリエ変換の定義では、指数にマイナス(−)がない場合もある。その場合は、逆変換側に付いているので、知っている定義と異なると混乱しないように注意しよう。