畳み込み収束定理
📂フーリエ解析畳み込み収束定理
定理
函数 g∈L1が次の条件を満たすとしよう。
∫Rg(y)dy∫−∞0g(y)dy∫0∞g(y)dyα+β=1=α=β=1
そして、fがR上で断続的であるとしよう。そして、fが有界であるか、またはgが任意の区間[−a,a]の外でg=0であるとしよう。すなわち、畳み込みf∗g(x)が全てのx∈Rに対してうまく定義されている。今、ϵ>0に対してgϵ(y)=ϵ1g(ϵy)としよう。すると、以下の式が成立する。
ϵ→0limf∗gϵ(x)=αf(x+)+βf(x−),x∈R
このとき、f(x+)、f(x−)はそれぞれ、fのxでの上極限、下極限である。特に、fがxで連続であれば、次の式が成立する。
ϵ→0limf∗gϵ(x)=f(x)
さらに、fがある閉区間で連続であれば、上記の収束は一様収束である。
「畳み込み収束定理」という名前は、この定理に特に付けられた名前がないために、暫定的に付けたものである。フーリエ解析、超函数論などで役立つ補助定理として使われる。
証明
私たちが示さなければならない式は次の通りである。
ϵ→0lim∣f∗gϵ(x)−αf(x+)−βf(x−)∣=0
絶対値の中の式を整理すると、次のようになる。
===f∗gϵ(x)−αf(x+)−βf(x−) ∫−∞∞f(x−y)gϵ(y)dy−∫−∞0g(y)dyf(x+)−∫0∞g(y)dyf(x−) ∫−∞∞f(x−y)gϵ(y)dy−∫−∞0gϵ(y)dyf(x+)−∫0∞gϵ(y)dyf(x−) ∫−∞0[f(x−y)−f(x+)]gϵ(y)dy+∫0∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy
今、任意の正の数δ>0が与えられたとしよう。すると、左極限、右極限の定義により
0<y<c⟹∣f(x−y)−f(x±)∣<δ
を満たすc>0が存在する。今、(eq1)の第二項についてだけ整理をしてみよう。積分区間を次のように分けることができる。
=∫0∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy ∫0c[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy+∫c∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy
(eq3)の第一項から見てみよう。条件(eq2)から、次の式を得ることができる。
∫0c[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy<∫0cδ∣gϵ(y)∣dy=δ∫0c/ϵ∣g(y)∣dy
したがって
ϵ→0lim∫0c[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy=0
これから残りの積分区間を処理する過程は、二つのケースに分けることができる。
ケース1. fが有界な場合
(eq3)の第二項は、fが有界であるという条件により、以下のように整理することができる。∣f∣≤Mとしよう。すると
$$
\begin{align*}
\left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| & \le 2M \left|\int_{c}^{\infty} g_{\epsilon}(y)dy \right|
\\ & \le 2M\int_{c/\epsilon}^{\infty}\left| g(y) \right|dy
\end{align*}
$$
したがって
ϵ→0lim∫c∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy=0
ケース2. ∣x∣>aのとき、g(x)=0である場合
すると、∣x∣>ϵaのときはいつでもgϵ(x)=0である。すると、十分に小さいϵに対して
∣x∣>c⟹gϵ(x)=0
これが成立する。したがって
ϵ→0lim∫c∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy=0
それでは、(eq3)、(eq4)、(eq5)、(eq6)から、以下の結果を得る。
ϵ→0lim∫0∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy=0
この方法を(eq1)の第一項に適用すると、次を得る。
ϵ→0lim∫−∞0[f(x−y)−f(x+)]gϵ(y)dy=0
したがって
≤ϵ→0lim∣f∗gϵ(x)−αf(x+)−βf(x−)∣ϵ→0lim∫−∞0[f(x−y)−f(x+)]gϵ(y)dy+ϵ→0lim∫0∞[f(x−y)−f(x−)]gϵ(y)dy=0
これが成立するので、
ϵ→0limf∗gϵ(x)=αf(x+)+βf(x−),x∈R
また、fがxで連続であれば、f(x+)=f(x−)であり、α+β=1であるので、
ϵ→0limf∗gϵ(x)=f(x)
この時点で、有界閉区間はコンパクトであり、fがいくつかのコンパクトセットで連続であれば、一様連続である。したがって、上でcを選択することにより、xと無関係になり、これはf∗gϵがfに一様収束することを意味する。
■