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畳み込み収束定理 📂フーリエ解析

畳み込み収束定理

定理

函数 gL1g \in L^{1}が次の条件を満たすとしよう。

Rg(y)dy=10g(y)dy=α0g(y)dy=βα+β=1 \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}g(y)dy &= 1 \\ \int_{-\infty}^{0}g(y)dy &= \alpha \\ \int_{0}^{\infty}g(y)dy &=\beta \\ \alpha+\beta &= 1 \end{align*}

そして、ffR\mathbb{R}上で断続的であるとしよう。そして、ff有界であるか、またはggが任意の区間[a,a][-a,a]の外でg=0g=0であるとしよう。すなわち、畳み込みfg(x)f \ast g(x)が全てのxRx\in \mathbb{R}に対してうまく定義されている。今、ϵ>0\epsilon >0に対してgϵ(y)=1ϵg(yϵ)g_{\epsilon}(y)=\frac{1}{\epsilon}g(\frac{y}{\epsilon})としよう。すると、以下の式が成立する。

limϵ0fgϵ(x)=αf(x+)+βf(x),xR \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R}

このとき、f(x+)f(x+)f(x)f(x-)はそれぞれ、ffxxでの上極限、下極限である。特に、ffxx連続であれば、次の式が成立する。

limϵ0fgϵ(x)=f(x) \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x)

さらに、ffがある閉区間で連続であれば、上記の収束は一様収束である。


「畳み込み収束定理」という名前は、この定理に特に付けられた名前がないために、暫定的に付けたものである。フーリエ解析、超函数論などで役立つ補助定理として使われる。

証明

私たちが示さなければならない式は次の通りである。

limϵ0fgϵ(x)αf(x+)βf(x)=0 \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right|=0

絶対値の中の式を整理すると、次のようになる。

fgϵ(x)αf(x+)βf(x)= f(xy)gϵ(y)dy0g(y)dyf(x+)0g(y)dyf(x)= f(xy)gϵ(y)dy0gϵ(y)dyf(x+)0gϵ(y)dyf(x)= 0[f(xy)f(x+)]gϵ(y)dy+0[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy \begin{align} &f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g_{\epsilon}(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g_{\epsilon}(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy+\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq1} \end{align}

今、任意の正の数δ>0\delta >0が与えられたとしよう。すると、左極限、右極限の定義により

0<y<c    f(xy)f(x±)<δ \begin{equation} 0<y<c \implies \left| f(x-y)-f(x\pm) \right| <\delta \label{eq2} \end{equation}

を満たすc>0c>0が存在する。今、(eq1)\eqref{eq1}の第二項についてだけ整理をしてみよう。積分区間を次のように分けることができる。

0[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy= 0c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy+c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy \begin{align} &\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \nonumber \\ =&\ \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy+\int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq3} \end{align}

(eq3)\eqref{eq3}の第一項から見てみよう。条件(eq2)\eqref{eq2}から、次の式を得ることができる。

0c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy<0cδgϵ(y)dy=δ0c/ϵg(y)dy \begin{align*} \left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right| &< \int_{0}^{c}\delta \left| g_{\epsilon}(y) \right|dy \\ &=\delta\int_{0}^{c/\epsilon} \left| g(y) \right|dy \end{align*}

したがって

limϵ00c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy=0 \begin{equation} \lim\limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 \label{eq4} \end{equation}

これから残りの積分区間を処理する過程は、二つのケースに分けることができる。

  • ケース1. ffが有界な場合

    (eq3)\eqref{eq3}の第二項は、ffが有界であるという条件により、以下のように整理することができる。fM\left| f \right| \le Mとしよう。すると $$ \begin{align*} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| & \le 2M \left|\int_{c}^{\infty} g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ & \le 2M\int_{c/\epsilon}^{\infty}\left| g(y) \right|dy
    \end{align*} $$

    したがって

    limϵ0c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy=0 \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq5} \end{equation}

  • ケース2. x>a\left| x \right|>aのとき、g(x)=0g(x)=0である場合

    すると、x>ϵa\left| x \right|>\epsilon a のときはいつでもgϵ(x)=0g_{\epsilon}(x)=0である。すると、十分に小さいϵ\epsilonに対して

    x>c    gϵ(x)=0 \left| x \right|>c \implies g_{\epsilon}(x)=0

    これが成立する。したがって

    limϵ0c[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy=0 \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq6} \end{equation}


それでは、(eq3)\eqref{eq3}(eq4)\eqref{eq4}(eq5)\eqref{eq5}(eq6)\eqref{eq6}から、以下の結果を得る。

limϵ00[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy=0 \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0

この方法を(eq1)\eqref{eq1}の第一項に適用すると、次を得る。

limϵ00[f(xy)f(x+)]gϵ(y)dy=0 \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0

したがって

limϵ0fgϵ(x)αf(x+)βf(x)limϵ00[f(xy)f(x+)]gϵ(y)dy+limϵ00[f(xy)f(x)]gϵ(y)dy=0 \begin{align*} &\lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right| \\ \le& \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ &+\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ &= 0 \end{align*}

これが成立するので、

limϵ0fgϵ(x)=αf(x+)+βf(x),xR \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R}

また、ffxxで連続であれば、f(x+)=f(x)f(x+)=f(x-)であり、α+β=1\alpha+\beta =1であるので、

limϵ0fgϵ(x)=f(x) \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x)

この時点で、有界閉区間はコンパクトであり、ffがいくつかのコンパクトセットで連続であれば、一様連続である。したがって、上でccを選択することにより、xxと無関係になり、これはfgϵf \ast g_{\epsilon}ff一様収束することを意味する。