畳み込み収束定理
定理
函数 $g \in L^{1}$が次の条件を満たすとしよう。
$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}g(y)dy &= 1 \\ \int_{-\infty}^{0}g(y)dy &= \alpha \\ \int_{0}^{\infty}g(y)dy &=\beta \\ \alpha+\beta &= 1 \end{align*} $$
そして、$f$が$\mathbb{R}$上で断続的であるとしよう。そして、$f$が有界であるか、または$g$が任意の区間$[-a,a]$の外で$g=0$であるとしよう。すなわち、畳み込み$f \ast g(x)$が全ての$x\in \mathbb{R}$に対してうまく定義されている。今、$\epsilon >0$に対して$g_{\epsilon}(y)=\frac{1}{\epsilon}g(\frac{y}{\epsilon})$としよう。すると、以下の式が成立する。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R} $$
このとき、$f(x+)$、$f(x-)$はそれぞれ、$f$の$x$での上極限、下極限である。特に、$f$が$x$で連続であれば、次の式が成立する。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x) $$
さらに、$f$がある閉区間で連続であれば、上記の収束は一様収束である。
「畳み込み収束定理」という名前は、この定理に特に付けられた名前がないために、暫定的に付けたものである。フーリエ解析、超函数論などで役立つ補助定理として使われる。
証明
私たちが示さなければならない式は次の通りである。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right|=0 $$
絶対値の中の式を整理すると、次のようになる。
$$ \begin{align} &f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy- \int_{-\infty}^{0}g_{\epsilon}(y)dyf(x+)- \int_{0}^{\infty}g_{\epsilon}(y)dyf(x-) \nonumber \\ =&\ \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy+\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq1} \end{align} $$
今、任意の正の数$\delta >0$が与えられたとしよう。すると、左極限、右極限の定義により
$$ \begin{equation} 0<y<c \implies \left| f(x-y)-f(x\pm) \right| <\delta \label{eq2} \end{equation} $$
を満たす$c>0$が存在する。今、$\eqref{eq1}$の第二項についてだけ整理をしてみよう。積分区間を次のように分けることができる。
$$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \nonumber \\ =&\ \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy+\int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \label{eq3} \end{align} $$
$\eqref{eq3}$の第一項から見てみよう。条件$\eqref{eq2}$から、次の式を得ることができる。
$$ \begin{align*} \left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right| &< \int_{0}^{c}\delta \left| g_{\epsilon}(y) \right|dy \\ &=\delta\int_{0}^{c/\epsilon} \left| g(y) \right|dy \end{align*} $$
したがって
$$ \begin{equation} \lim\limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{c}\big[ f(x-y)-f(x-)\big]g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 \label{eq4} \end{equation} $$
これから残りの積分区間を処理する過程は、二つのケースに分けることができる。
ケース1. $f$が有界な場合
$\eqref{eq3}$の第二項は、$f$が有界であるという条件により、以下のように整理することができる。$\left| f \right| \le M$としよう。すると $$ \begin{align*} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| & \le 2M \left|\int_{c}^{\infty} g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ & \le 2M\int_{c/\epsilon}^{\infty}\left| g(y) \right|dy
\end{align*} $$したがって
$$ \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq5} \end{equation} $$
ケース2. $\left| x \right|>a$のとき、$g(x)=0$である場合
すると、$\left| x \right|>\epsilon a $のときはいつでも$g_{\epsilon}(x)=0$である。すると、十分に小さい$\epsilon$に対して
$$ \left| x \right|>c \implies g_{\epsilon}(x)=0 $$
これが成立する。したがって
$$ \begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{c}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| =0 \label{eq6} \end{equation} $$
それでは、$\eqref{eq3}$、$\eqref{eq4}$、$\eqref{eq5}$、$\eqref{eq6}$から、以下の結果を得る。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 $$
この方法を$\eqref{eq1}$の第一項に適用すると、次を得る。
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right|=0 $$
したがって
$$ \begin{align*} &\lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| f \ast g_{\epsilon}(x)-\alpha f(x+)-\beta f(x-) \right| \\ \le& \lim \limits_{\epsilon \to 0}\left| \int_{-\infty}^{0}\big[ f(x-y)-f(x+) \big]g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ &+\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left| \int_{0}^{\infty}\big[ f(x-y)-f(x-) \big] g_{\epsilon}(y)dy \right| \\ &= 0 \end{align*} $$
これが成立するので、
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0}f \ast g_{\epsilon}(x)=\alpha f(x+)+\beta f(x-) ,\quad x\in\mathbb{R} $$
また、$f$が$x$で連続であれば、$f(x+)=f(x-)$であり、$\alpha+\beta =1$であるので、
$$ \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(x)=f(x) $$
この時点で、有界閉区間はコンパクトであり、$f$がいくつかのコンパクトセットで連続であれば、一様連続である。したがって、上で$c$を選択することにより、$x$と無関係になり、これは$f \ast g_{\epsilon}$が$f$に一様収束することを意味する。
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