📂解析学

関数列の一様収束と微分可能性

定理¹

区間 $[a, b]$で微分可能な関数の数列 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is differentiable on } [a, b] \right\}$が点 $x_{0} \in [a, b]$で点ごとに収束するとしよう。もし $\left\{ f_{n}^{\prime} \right\}$が区間 $[a, b]$で一様に収束するならば、$\left\{ f_{n} \right\}$も区間 $[a, b]$で微分可能な関数 $f$に一様収束し、次が成り立つ。

$$ f^{\prime} (x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \quad a \le x \le b $$

説明²

定理の結果を一言で表現すれば「極限の導関数と導関数の極限が等しい」ということだ。すなわち、限界記号と微分記号の順序を入れ替えることが可能である。

$$ \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) \quad a \le x \le b $$

微分に関して関数列の一様収束を考える理由は、第一に点ごとの収束が微分可能性を保持しないからだ(反例1)。第二に、$f_{n} \to f$であって$f$が微分可能だとしても、$f_{n}^{\prime} \to f^{\prime}$が成り立たないことがあるからだ。(反例2)。

反例1

微分可能な関数の関数列 $f_{n}$が $f$に点ごとに収束することが、$f$が微分可能であることを保証しない。

証明

関数 $f_{n}(x) = x^{n}$は $[0, 1]$で微分可能だ。そして関数 $f$を次のように定義しよう。

$$ f (x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x \lt 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases} $$

すると、すべての点 $x \in [0, 1]$で $f_{n}(x)$は $f(x)$に点ごとに収束する。しかし明らかに $f$は $x = 1$で微分不可能である。

■

反例2

区間 $[0, 1]$で $f_{n} \to f$であるが、

$$ \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) \right)^{\prime} \quad \text{ for } x=1 $$

が成り立つある微分可能な関数 $f_{n}$と $f$が存在する。

証明

$f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n}$および $f(x) = 0$としよう。すると区間 $[0, 1]$で

$$ x^{n} \to 0 \text{ and } n \to \infty \quad \text{ as } n \to \infty $$

ゆえに $f_{n} \to f$である。しかし $f_{n}^{\prime} (x) = x^{n-1}$より $f_{n}^{\prime} (1) = 1$である。したがって

$$ 1 = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (1) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(1) \right)^{\prime} = 0 $$

■

証明

仮定: $f_{n}(x_{0}) \to f(x_{0})$および $f^{\prime}_{n}$が一様収束する。

---

小さな正数 $\epsilon \gt 0$が与えられたとしよう。すると収束する数列とコーシー数列は同値なので、仮定により次が成り立つ正数 $N$を選ぶことができる。

$$ n, m \ge N \implies \begin{array}{l} |f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0})| \lt \dfrac{\epsilon}{2} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ (1) \\[0.5em] \text{and} \\[0.5em] |f_{n}^{\prime} (t) - f_{m}^{\prime} (t)| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \quad (a \le t \le b) \qquad (2) \end{array} $$

そして関数 $f_{n} - f_{m}$に平均値の定理を適用すると $(2)$とともに次を得る。$n ,m \ge N$かつ $x, t \in [a, b]$について、

$$ \begin{aligned} \left| \left( f_{n}(x) - f_{m}(x) \right) - \left( f_{n}(t) - f_{m}(t) \right) \right| &= |x - t| \left| f_{n}^{\prime} (s) - f_{m}^{\prime} (s) \right| \quad (t \le s \le x) \nonumber \\ &\lt |x - t|\dfrac{\epsilon}{2(b - a)} = \dfrac{\epsilon}{2} \dfrac{|x - t|}{(b - a)} \nonumber \\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} \end{aligned} \tag{3} $$

そして $(1)$および $(3)$から次の不等式が成り立つ。$n, m \ge N$かつ $x \in [a, b]$について、

$$ \begin{align*} \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| &= \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) + \big[f_{n}(x_{0}) - f_{n}(x_{0})\big] + \big[f_{m}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \big] \right| \\ &\lt \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) - (f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})) \right| + \left| f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \right|\\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} $$

このとき、こうした $N$は $x$と無関係に選ばれているので、$f_{n}$は区間 $[0, 1]$で一様収束する。極限を $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x)$ $(a \le x \le b)$としよう。

今、$x \in [a, b]$を一つ固定して、関数 $\phi_{n}$および $\phi$を次のように定義しよう。

$$ \phi_{n}(t) = \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x},\qquad \phi(t) = \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} \quad (x \ne t \in [a,b]) $$

すると、次が成り立つ。

$$ \lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) = \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x} = f_{n}^{\prime} (x) $$

また $(3)$の最初の不等式から次を得る。

$$ \left| \phi_{n}(t) - \phi_{m}(t) \right| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \qquad (n, m \ge N) $$

したがって $\phi_{n}$は $t \ne x$に一様収束する。$f_{n} \to f$ゆえに、

$$ \phi_{n}(t) \rightrightarrows \phi(t) \quad \text{ or } \quad \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) = \phi (t) \quad (a \le t \le b, t \ne x) $$

一様収束と連続性

もし距離空間 $E$上で $f_{n} ⇉ f$ならば、$E$の集積点 $x$について次が成り立つ。

$$ \lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(t) = \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} f_{n}(t) $$

$\phi_{n} ⇉ \phi \text{ on } [a,b]\setminus \left\{ x \right\}$なので、上の定理を $\phi_{n}$に適用すると次が成り立つ。

$$ \begin{align*} && \lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) &= \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \phi(t) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \end{align*} $$

■