📂解析学

不連続性の分類

定義¹

• 距離空間 $X$で定義された関数$f :X \to \mathbb{R}$が与えられたとしよう。もし$f$が$x\in X$で連続でなければ、$f$は$x$で不連続と言うか、$x$で不連続性を持つと言う。

$f: (a,b) \to \mathbb{R}$としよう。

• $f$が$x\in (a,b)$で不連続で、$x$での左/右極限$f(x-)$、$f(x+)$が存在すれば、$f$は$x$で第1種不連続性を持つと言うか**$f$は簡単不連続**と言われる。

  第1種不連続性はさらに二つに分けられる。

  • もし$f(x-)=f(x+)$なら、$f$は$x$で除去可能不連続性を持つと言われる。

  • $f(x-)\ne f(x+)$なら、$f$は$x$でジャンプ不連続性を持つと言われる。

• $f$が$x$で不連続で、$x$での左/右極限$f(x-)$、$f(x+)$のどちらかが存在しなければ、$f$は$x$で第2種不連続性を持つと言われる。特に、左極限、右極限のどちらかが無限大に発散すれば、$f$は$x$で無限不連続性を持つと言われる。

  第2種不連続性は、essential discontinuityとも言われる。

説明

$f$が$x$で除去可能不連続ならば、$x$での関数の値を変えることで、そこでの不連続性をなくすことができる。