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分布の翻訳 📂シュワルツ超函数

分布の翻訳

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超関数は、その定義域が関数空間であるため、実数空間で定義された関数と同じ方法でトランスレーションを行うことはできない。しかし、正則超関数の場合、対応する局所積分可能な関数 uLloc1u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}が存在し、以下のように表される。

Tu(ϕ)=u(x)ϕ(x)dx,ϕD(Rn) T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})

したがって、uuに対するある作用 SSによって Su=uSu=u^{\prime}を得ることができるが、依然としてuu^{\prime}が局所積分可能な関数であれば、それに対応する超関数 TuT_{u^{\prime}}が存在する。したがって、uuに対する作用 SSTuT_{u}に対する作用と考えるのである。このアイデアを超関数全体に拡張し、超関数のトランスレーションを定義しようとしている。

1.PNG

uLloc1u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}とそれに対応する正則超関数 TuT_{u}が与えられたとしよう。トランスレーションの記号としてTTを使っているが、TTはすでに超関数の記号として使用しているため、シフトのSSを取り、aRa\in \mathbb{R}に対するトランスレーションをSaS_{a}としよう。そして、uuのトランスレーションをu(x)=(Sau)(x)=u(xa)u^{\prime}(x)=(S_{a}u)(x)=u(x-a)とする。すると、依然としてuLloc1u^{\prime} \in L_{\mathrm{loc}}^{1}である。したがって、uu^{\prime}にも対応する正則超関数 TuT_{u^{\prime}}が存在し、ϕD(Rn)\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})に対しては以下のようになる。

Tu(ϕ)=u(x)ϕ(x)dx=u(xa)ϕ(x)dx=u(x)ϕ(x+a)dx=u(x)Saϕ(x)dx=Tu(Saϕ) \begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi)&=\int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \int u(x-a)\phi (x)dx \\ &=\int u(x)\phi (x+a)dx \\ &= \int u(x) S_{-a}\phi (x) dx \\ &=T_{u}(S_{-a}\phi) \end{align*}

テスト関数 ϕ\phiは、対称移動しても引き続きテスト関数であるため、上記の計算に問題はない。したがって、TTを対称移動させることをuuを対称移動させることと理解できる。さらに、結果的にテスト関数を逆方向に対称移動させるのと同じ作用であることがわかる。

定義1

超関数 TTのトランスレーションを以下のように定義する。

(SaT)(ϕ):=T(Saϕ) (S_{a}T)(\phi):=T(S_{-a}\phi)


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p310 ↩︎