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ベクトル場における体積 📂多変数ベクトル解析

ベクトル場における体積

定義

ユークリッド空間の部分空間D⊂RnD \subset \mathbb{R}^{n}の体積VVは、直交座標u=(u1,u2,⋯ ,un)\textbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n})で表された場合、次のように定義される。

V(D)=∫Ddu1du2⋯dun V(D) = \int_{D} du_{1} du_{2} \cdots d u_{n}

u∈Rn\textbf{u} \in \mathbb{R}^{n}がベクトル関数f:Rn→Rn\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}によってf(u)=(f1(u),⋯ ,fn(u))\textbf{f} \left( \textbf{u} \right) = \left( f_{1} (\textbf{u}) , \cdots , f_{n} (\textbf{u}) \right)のように変換された場合、DDの体積は次のようになる。

V(D)=∫D∣∂f(u)∂u∣du1du2⋯dun V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}

∣∂f(u)∂u∣\displaystyle \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right|は、次のように表すことができるf(u)\textbf{f} (\textbf{u})のヤコビ行列の行列式である。 ∣∂f(u)∂u∣=det⁡[∂f1(u)∂u1⋯∂f1(u)∂un⋮⋱⋮∂fn(u)∂u1⋯∂fn(u)∂un] \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| = \det \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \end{bmatrix}

説明

人によってはV(D)=∫D∣∂f(u)∂u∣du1⋯dun\displaystyle V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} \cdots d u_{n}を見ただけで怖くなるかもしれない。しかし、それを簡単に説明して理解させるためのポストなので、落ち着いて以下の説明を読もう。

体積とは11次元の長さ、22次元の面積、33次元の体積をn∈Nn \in \mathbb{N}次元に対して一般化したものである。もちろん、Volumeは韓国語で体積と訳されるが、一般的に数学ではこれらを明確に区別して呼ぶことはなく、‘体積’と言うとn=3n=3次元を想起させるため、そのまま[ボリューム]という表現を使うことにする。

座標系変換

ベクトル関数f\textbf{f}は分野によって様々な使われ方をするかもしれないが、物理学の文脈で考えれば、座標系の変換として受け取っても構わない。例えば、以下のようにf\textbf{f}が与えられたとする。

f(r,θ)=(f1(r,θ),f2(r,θ))=(x(r,θ),y(r,θ))=(rcos⁡θ,rsin⁡θ) \begin{align*} \textbf{f} (r,\theta) =& \left( f_{1} (r,\theta) , f_{2} (r,\theta) \right) \\ =& \left( x (r,\theta) , y (r,\theta) \right) \\ =& (r \cos \theta , r \sin \theta) \end{align*}

これはすなわち極座標系となる。f\textbf{f}を無くし、x=x(r,θ)x = x (r,\theta)とy=y(r,θ)y = y (r,\theta)を私たちに馴染みのある表現に変えてみると

x=rcos⁡θy=rsin⁡θ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta

このヤコビ行列の行列式は

det⁡[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ]=det⁡[cos⁡θsin⁡θ−rsin⁡θrcos⁡θ]=rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=r \begin{align*} \det \begin{bmatrix} {{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }} \\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }} \end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix} \\ =& r \cos^{2} \theta + r \sin^{2} \theta \\ =& r \end{align*}

だから、22次元で与えられた領域R⊂R2R \subset \mathbb{R}^{2}の面積(体積)V(R)V(R)は次のように計算される。

V(R)=∫Rrdrdθ V(R) = \int_{R} r dr d\theta

ここで混乱してはいけないのは、f\textbf{f}が(x,y)(x,y)を(r,θ)(r,\theta)にマッピングしたわけではないということだ。私たちは直交座標系の点(x,y)(x,y)を表すために極座標系の点(r,θ)(r, \theta)を使ったので、f\textbf{f}は(r,θ)(r, \theta)を(x,y)(x,y)にマッピングしたのだ。

VVはなぜそう定義されるのか

体積VVがなぜそう定義されるかを説明するには、体積が導かれる過程を直接見る方が良い。まず、微小体積から見てみよう。一般に33次元以下では、次のdx,dA,dVdx, dA, dVは順に微小な長さ、微小な面積、微小な体積と呼ばれる。

dx=dxdA=dxdydV=dxdydz \begin{align*} dx =& dx \\ dA =& dxdy \\ dV =& dxdydz \end{align*}

11次元の区間I=[x1,x2]I = [x_{1},x_{2}]の長さは

(x2−x1)=∫x1x2dx=∫Idx (x_{2} - x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dx = \int_{I} dx

のように計算できるように、22次元の長方形R=[x1,x2]×[y1,y2]R = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}]の面積は

(x2−x1)(y2−y1)=∫y1y2∫x1x2dxdy=∫RdA (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdy = \int_{R} dA

で得られ、33次元の直方体D=[x1,x2]×[y1,y2]×[z1,z2]D = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] \times [z_{1} , z_{2}]の体積は

(x2−x1)(y2−y1)(z2−z1)=∫z1z2∫y1y2∫x1x2dxdydz=∫DdV (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdydz = \int_{D} dV

で表すことができる。直交座標でこのように体積を求める過程を一般化すると、微小体積

dV=du1du2⋯dun dV = d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}

の両辺に定積分∫D\displaystyle \int_{D}を取ることになり、次のような表現を納得できるだろう。 ∫Ddu1du2⋯dun=∫DdV=V(D) \int_{D} d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} = \int_{D} dV = V(D)

ここで、DDは特に閉区間のデカルト積である必要はなく、その形は円形であっても星形であっても構わない。ただ、実際の計算はかなり難しいかもしれないが、ちょうどその時、座標系の変換があれば、そのような数式の展開も楽にできるだろう。