📂古典力学

直交座標系における速度と加速度

直交座標系での速度と加速度

$$\begin{align*} \mathbf{r} &= x \hat{\mathbf{x}} + y \hat{\mathbf{y}} + z \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{v} &= \dot{\mathbf{r}} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{a} &= \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{x} \hat{\mathbf{x}} + \ddot{y} \hat{\mathbf{y}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

導出

直交座標系で速度と加速度を求めるのはとても簡単だ。

速度

$\mathbf{r}$を$t$で微分すると次のようになる。

$$\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(x\hat{\mathbf{x}} +y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}})=\dot{x} \hat{\mathbf{x}} + x\dot{\hat{\mathbf{x}}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}} + y\dot{\hat{\mathbf{y}}} +\dot{z} \hat{\mathbf{z}} + z\dot{\hat{\mathbf{z}}}$$

直交座標系の単位ベクトルは、時間の変化に無関係なので$\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\dot{\hat{\mathbf{y}}}=\dot{\hat{\mathbf{z}}} = 0$であり、したがって次のようになる。

$$\mathbf{v} = \dot{x} \hat{\mathbf{x}} + \dot{y} \hat{\mathbf{y}} + \dot{z} \hat{\mathbf{z}}$$

ちなみに、$\dot{r}$は「アルドット」と読む。物理学で文字の上の点は、時間に対する微分を意味する。

加速度

$\mathbf{v}$を$t$で微分すると次のようになる。

$$\mathbf{a}=\frac{d}{dt}(\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+\dot{y} \hat{\mathbf{y}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}})=\ddot{x} \hat{\mathbf{x}}+\ddot{y} \hat{\mathbf{y}}+\ddot{z}\hat{\mathbf{z}}$$

併せて見る

• 極座標系での速度と加速度
• 円筒座標系での速度と加速度
• 球座標系での速度と加速度