収束級数の性質

定理

二つの級数 $\sum a_{n}$と$\sum b_{n}$が収束したら、級数$\sum c a_{n}$（$c$は定数)と$\sum (a_{n} \pm b_{n})$も収束して、次のことが成り立つ。

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$
$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n}$

説明

級数の定数倍と二つの級数の和が自然に成り立つが、これは「収束する」級数に対してのみ成り立つことに注意しろ。

証明

1.

$$ \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c a_{n} &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} c a_{n} \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} c \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \\ &= c \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \\ \end{align*} $$

最初の等号は級数の定義によって、三番目の等号は極限の性質によって成り立つ。

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2.

$$ \begin{align*} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} (a_{n} \pm b_{n}) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \left(\sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n}\right) \\ &= \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} a_{n} \pm \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N} b_{n} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum\limits_{n = 1}^{\infty} b_{n} \\ \end{align*} $$

最初の等号は級数の定義で、二番目の等号は和$\sum$の性質によって、三番目の等号は極限の性質によって成り立つ。

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