一次形式
定義
$V$を$n$次元のベクトル空間とする。与えられた定数$a_{i} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})$に対して、以下の線形変換$A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})$を線形形式linear formと呼ぶ。
$$ A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$
この時$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$である。
一般化
与えられた内積空間$(V, \left< \cdot, \cdot \right>)$と$\mathbf{a} \in V$に対して、次の線形汎関数$A : V \to \mathbb{F}$を線形形式と呼ぶ。
$$ A(\mathbf{x}) = \left< \mathbf{a}, \mathbf{x} \right> $$
この時、$\mathbb{F}$はベクトル空間$V$の体である。
行列の形
$a_{i}$, $x_{i}$が実数なら、$\mathbb{R}^{n}$空間上の線形形式と呼ぶ。また、定数と変数を$\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}^{T}$、$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$のように列ベクトルで表すと、線形形式は次のように行列の内積で表現できる。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} =\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$