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一次形式 📂線形代数

一次形式

定義

VVをnn次元のベクトル空間とする。与えられた定数ai∈R(or C)a_{i} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})に対して、以下の線形変換A:V→R(or C)A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})を線形形式linear formと呼ぶ。

A(x):=∑i=1naixi A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}

この時x=[x1⋯xn]T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}である。

一般化

与えられた内積空間(V,<⋅,⋅>)(V, \left< \cdot, \cdot \right>)とa∈V\mathbf{a} \in Vに対して、次の線形汎関数A:V→FA : V \to \mathbb{F}を線形形式と呼ぶ。

A(x)=<a,x> A(\mathbf{x}) = \left< \mathbf{a}, \mathbf{x} \right>

この時、F\mathbb{F}はベクトル空間VVの体である。

行列の形

aia_{i}, xix_{i}が実数なら、Rn\mathbb{R}^{n}空間上の線形形式と呼ぶ。また、定数と変数をa=[a1⋯an]T\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}^{T}、x=[x1⋯xn]T\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}のように列ベクトルで表すと、線形形式は次のように行列の内積で表現できる。

a⋅x=aTx=[a1⋯an][x1⋮xn]=∑i=1naixi \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} =\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i}

参照