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距離空間内のコーシー数列と完備性 📂距離空間

距離空間内のコーシー数列と完備性

定義

  • {pn}\left\{ p_{n} \right\}を距離空間(X,d)(X,d)の点の数列とする。全ての正の数ε\varepsilonに対して

    n≥N, m≥N  ⟹  d(pn,pm)<ε n\ge N,\ m\ge N \implies d(p_{n},p_{m})<\varepsilon

    が成り立つ正の数NNが存在するならば、{pn}\left\{ p_{n} \right\}をコーシー数列Cauchy sequenceという。

  • 距離空間XXの全てのコーシー数列がXXの点に収束するならば、XXを完備空間という。

説明

以下の定理により、全てのコンパクト距離空間とユークリッド空間は完備であることがわかる。

定理

(a) 距離空間で、全ての収束する数列はコーシー数列である。

(b) XXがコンパクト距離空間で{pn}\left\{ p_{n} \right\}がXXのコーシー数列であるとする。その場合、{pn}\left\{ p_{n} \right\}はあるp∈Xp\in Xに収束する。

(c) Rk\mathbb{R}^{k}で、全てのコーシー数列は収束する。

(a), (b) を一緒に言えば、「コンパクト距離空間で収束する数列とコーシー数列は同値である」となる。

証明

(a)

pn→pp_{n} \to pかつε>0\varepsilon >0が与えられたとする。それならば∀n≥N, d(p,pn)<ε\forall n \ge N,\ d(p,p_{n})<\varepsilonを満たすNNが存在する。したがって、次が成り立つ：

d(pn,pm)≤d(pn,p)+d(p,pm)<2ε,∀m,n≥N d(p_{n},p_{m}) \le d(p_{n},p)+d(p,p_{m})<2\varepsilon,\quad \forall m,n\ge N

従って、定義により{pn}\left\{ p_{n} \right\}はコーシー数列である。

■

(b)

{pn}\left\{ p_{n} \right\}をコンパクト距離空間XXのコーシー数列とする。そして、任意の自然数NNに対して次のようであるとする：

EN={pN,pN+1,pN+2,⋯ } E_{N}=\left\{ p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\cdots\right\}

すると、次が成り立つ：

lim⁡N→∞diam EN‾=0 \begin{equation} \lim \limits_{N\to\infty}\mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}=0 \label{eq1} \end{equation}

また、EN‾\overline{E_{N}}はコンパクト空間XXの閉じた部分集合なので、EN‾\overline{E_{N}}はコンパクトである。さらに、次の式が成り立つことは自明である：

EN⊃EN+1andEN‾⊃EN+1‾ E_{N}\supset E_{N+1} \quad \text{and} \quad \overline{E_{N}}\supset \overline{E_{N+1}}

従って、上記の条件から、∀N∈N, p∈EN‾\forall N \in \mathbb{N},\ p \in \overline{E_{N}}を満たす唯一のp∈Xp \in Xが存在する1ことがわかる。今、ε>0\varepsilon >0が与えられたとする。それならば(eq1)\eqref{eq1}により、

N≥N0  ⟹  diam EN‾<ε N \ge N_{0}\implies \mathrm{diam\ }\overline{E_{N}}< \varepsilon

が成り立つN0N_{0}が存在する。しかし、diam E‾=diam E\mathrm{diam\ }\overline{E}=\mathrm{diam\ }Eかつp∈EN‾p \in \overline{E_{N}}であるので、全てのq∈ENq \in E_{N}に対してd(p,q)<εd(p,q)<\varepsilonが成り立つ。言い換えると、次のようになる：

n≥N0  ⟹  d(pn,p)<ε n \ge N_{0} \implies d(p_{n},p)< \varepsilon

これはpn→pp_{n}\to pの定義なので、lim⁡n→∞pn=p\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p

■

(c)

{xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}をRk\mathbb{R}^{k}でのコーシー数列とする。ENE_{N}を証明 (b) と同じものとする。それならば、

diam EN<1 \mathrm{diam\ } E_{N} <1

を満たすNNを選んだとする。そして、

r=max⁡{d(xN,x1), d(xN,x2), ⋯ , d(xN,xN−1), 1} r=\max \left\{ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{1}),\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{2}),\ \cdots,\ d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{N-1}),\ 1 \right\}

だとするなら、∀m,n∈N, d(xn,xm)<r\forall m,n \in \mathbb{N},\ d(\mathbf{x}_{n},\mathbf{x}_{m}) <rのため、{xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}は有界である。したがって、{xn}‾\overline{ \left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}}は閉じていて有界なRk\mathbb{R}^{k}の部分集合なので、コンパクトである。従って、{xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}はコンパクト空間のコーシー数列であり、したがって**（b）**により、{xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}は収束する。

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  1. 定理(b)参照 ↩︎