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ユークリッド空間における空でない完全集合は非可算である 📂距離空間

ユークリッド空間における空でない完全集合は非可算である

定義

(X,d)(X,d)を距離空間としよう。p∈Xp \in Xであり、かつE⊂XE \subset Xとする。

  • d(q,p)<rd(q,p)<rを満たすすべてのqqを含む集合を点ppの近傍と定義し、Nr(p)N_{r}(p)と表記する。この時、rrをNr(p)N_{r}(p)の半径と呼ぶNr(p)N_{r}(p)は、距離を省略してよい場合、NpN_{p}というふうに表記することもある。

  • ppのすべての近傍がq≠pq\ne pであり、かつq∈Eq\in Eであるqqを含んでいる場合、ppをEEの集積点と呼ぶ。

  • EEのすべての集積点がEEに含まれる場合、EEは閉じていると言う。

  • EEが閉じていると同時にEEのすべての点がEEの集積点である場合、EEは完全であると言う。

定理

P⊂RkP \subset \mathbb{R}^{k}が空でない完全な集合だとしよう。すると、PPは非可算である。

証明

背理法で証明する。

まず、PPは集積点を持つので、無限集合である。ここで、PPが可算であると仮定してみよう。すると、PPの要素は

x1,x2,⋯ ,xn,⋯ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\cdots,\mathbf{x}_{n},\cdots

と表現できる。次に、いくつかのx1\mathbf{x}_{1}の近傍N1N_{1}について考えてみよう。x1\mathbf{x}_{1}はPPの集積点なので、N1N_{1}は少なくともx1\mathbf{x}_{1}ではないPPの点を一つは含む必要がある。その点をx2\mathbf{x}_{2}としよう。すると、半径を縮小してx1\mathbf{x}_{1}を含まないx2\mathbf{x}_{2}の近傍N2N_{2}を見つけることができる。十分に小さい近傍を選べば、x1∉N2‾\mathbf{x}_{1}\notin \overline{N_{2}}も満たせる。するとN2‾⊂N1\overline{N_{2}}\subset N_{1}であり、かつN2‾∩P≠∅\overline{N_{2}}\cap P \ne \varnothingである。x2\mathbf{x}_{2}もまたPPの集積点であるため、N2N_{2}はx2\mathbf{x}_{2}ではないPPの点を含む必要がある。その点をx3\mathbf{x}_{3}としよう。

同じ方法で、x2\mathbf{x}_{2}を含まないx3\mathbf{x}_{3}の近傍N3N_{3}を見つけることができ、N3‾⊂N2\overline{N_{3}}\subset N_{2}であり、かつN3‾∩P≠∅\overline{N_{3}}\cap P \ne \varnothingである。このように続けていくと、点x4\mathbf{x}_{4}、x5\mathbf{x}_{5}、⋯\cdotsおよびそれぞれの点の近傍N4,N5,⋯N_{4},N_{5},\cdotsを選ぶことができる。すると、近傍の集合{Nn}\left\{ N_{n} \right\}は以下の条件を満たすことになる。

  • (i) Nn+1‾⊂Nn\overline{N_{n+1}} \subset N_{n}

  • (ii) xn∉Nn+1‾\mathbf{x}_{n} \notin \overline{N_{n+1}}

  • (iii) Nn‾∩P≠∅\overline{N_{n}} \cap P \ne \varnothing

また、Nn‾\overline{N_{n}}は閉じていて有界なのでコンパクトである。PPも閉じているので、Kn=Nn‾∩PK_{n}=\overline{N_{n}}\cap Pとすると、KnK_{n}はコンパクトである。

距離空間で一般化されたカントールの縮小区間定理

{Kn}\left\{ K_{n} \right\}を空でないコンパクト集合の数列としよう。もし

Kn⊃Kn+1 (n=1,2,⋯ ) K_{n}\supset K_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)

を満たせば、⋂i=1∞Kn≠∅\bigcap _{i=1}^{\infty} K_{n} \ne \varnothingである

すると、{Kn}\left\{ K_{n} \right\}は空でないコンパクト集合であり、Kn⊃Kn+1K_{n}\supset K_{n+1}を満たすため、カントールの縮小区間定理により⋂n=1∞Kn≠∅\bigcap _{n=1}^{\infty} K_{n}\ne \varnothingである。しかし、(ii)(\mathrm{ii})によって⋂n=1∞Kn=∅\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}=\varnothingである。これは明らかに矛盾なので、仮定が間違っていたことがわかる。したがって、PPは非可算である。

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結論

すべての閉区間[a,b][a,b]は非可算である。