📂距離空間

距離空間における一般化されたカントールの縮小区間定理

定理1

$(X,d)$が距離空間だとしよう。$K_{n}\subset X (n=1,2,\cdots)$は空でないコンパクト部分集合だ。この時$\left\{ K_{n} \right\}$が

$$K_{n}\supset K_{n+1}\ (n=1,2,\cdots)$$

を満たせば、$\bigcap _{i=1}^{\infty} K_{n} \ne \varnothing$だ。

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$\left\{ K_{n} \right\}$を上記のように置くと、有限交叉性質を持つので、下で示される定理の系として直ちに成立する。$K_{n}=I_{n}=[a_{n},b_{n}]$にすると、$\mathbb{R}$でのカントールの縮小区間定理になる。

定義

任意のコレクション $\left\{ A_{\alpha} \right\}_{\alpha \in I}$が与えられたとしよう。$I$のすべての有限部分集合$J\subset I$に対して下記の条件を満たす場合、$\left\{A_{\alpha}\right\}$が有限交叉性質を持つと言われる。

$$\bigcap \limits_{\alpha \in J} A_{\alpha} \ne \varnothing \quad \forall J\subset I, (J\ \mathrm{is\ finite\ set})$$

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簡単に言うと、コレクション$\left\{ A_{\alpha} \right\}$の中で任意の数の集合を選んで交差を取った時、決して空集合にならない場合に有限交叉性質を持つと言われる。

定理2

$(X,d)$を距離空間としよう。そして、コンパクト部分集合$K_{\alpha}\subset X$たちのコレクション $\left\{ K_{\alpha} \right\}$が有限交叉性質を持つとしよう。そうすると、コレクション全体に対する交差も空集合ではない。

$$\bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \ne \varnothing$$

証明

背理法で証明する。

$\bigcap_{\alpha}K_{\alpha}=\varnothing$と仮定しよう。そして、コレクションから任意に一つを固定してこれを$K_{1}$とする。$F_{\alpha}=(K_{\alpha})^{c}$とおくと、距離空間でのコンパクト集合は閉集合なので、閉集合の補集合である$F_{\alpha}$は開集合だ。さらに、ド・モルガンの法則によって

$$K_{1} \subset X =\varnothing^{c}=\left( \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \right)^{c}=\bigcup_{\alpha}F_{\alpha}$$

であるため、$\left\{ F_{\alpha} \right\}$は$K_{1}$のオープンカバーだ。$K_{1}$はコンパクトだから、$K_{1}$をカバーする$\left\{ F_{\alpha} \right\}$の有限部分カバーが存在する。

$$K_{1} \subset F_{\alpha_{1}}\cup \cdots \cup F_{\alpha_{n}}$$

上で$F_{\alpha}=(K_{\alpha})^{c}$と置いたので、次が成立する。

$$K_{1}\cap K_{\alpha_{1}}\cap \cdots \cap K_{\alpha_{n}}=\varnothing$$

しかし、これは$\left\{ K_{\alpha} \right\}$が有限交叉性質を持つという事実に矛盾する。したがって、背理法により次が成立する。

$$\bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \ne \varnothing$$

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参考

• $\mathbb{R}$でのカントールの縮小区間定理