距離空間における相対的に開かれた集合
📂距離空間距離空間における相対的に開かれた集合
説明
2つの距離空間Y⊂Xがあるとしよう。そして、部分集合E⊂Y⊂Xが与えられたとしよう。もしEが全体空間Xに対して開いているならば、内点と開かれた定義によって、Yを全体空間としてもEは開集合である。全体集合が小さくなる状況なので、p∈Eの近傍N⊂Eがより大きくなることはないからだ。しかし逆に、Eが全体空間Yに対して開いているという事実がEがXでも開かれていることを保証しない。つまり、開いているというのは絶対的な性質ではなく、全体集合が何かによって決まる相対的な概念であるということだ。下記の例を見てみよう。
例
E=(a,b)、Y=R、X=R2
定義によって、(a,b)は全体空間Rに対して開いている。しかし、全体空間をR2に拡張すると、もはや開集合ではなくなる。どんなp∈(a,b)に対しても、N⊂(a,b)を満たすpの近傍Nが存在しないからだ。
E=[0,1)、Y=[0,∞)、X=R
例1と同様に、[0,1)は全体空間[0,∞)に対して開集合である。しかし、全体空間をRに拡張すると、[0,1)はもはや開集合ではない。
そのため、開かれている意味を明確にする際には、相対的に開かれているという表現を使う。
定義
2つの距離空間X、Yに対して、E⊂Y⊂Xとしよう。全てのp∈Eに対して、下記の条件を満たす定数r>0が存在する場合、EはYに対して相対的に開集合であると言う。
d(p,q)<randq∈Y⟹q∈E
上記の式は、開かれたものを新たに定義したわけではなく、「全体空間をYとした場合にEが開かれていれば」ということを式で表したものに過ぎない。別の言い方をすれば、「Yにある要素だけでEに含まれるp∈Eの近傍を作ることができる」ということだ。これに関する定理を紹介する。
定理
2つの距離空間X、Yが与えられたとしよう。そしてE⊂Y⊂Xとしよう。それでは、下記の2つの命題は同値である。
(a) EがYに対して相対的に開いている。
(b) Xのある開集合OXに対してE=Y∩OXが成立する。
これは、全体空間を減らす状況で有用に使われる。例えば、全体空間X=Rで(−a,a)のようなオープンセットを扱っていたが、空間をY=[0,∞)に縮小する状況を考えてみよう。すると、(−a,a)⊂Yであるため、元々使っていたオープンセットをYで扱うことはできない。この時、上記の定理により簡単に[0,a)=Y∩(−a,a)のようにYでオープンセットを取り上げることができる。
証明
位相空間における証明
(a) ⟹ (b)
仮定によって、全てのp∈Eに対して、下記の条件を満たす正数rp>0が存在する。
d(p,q)<rpandq∈Y⟹q∈E
今、d(p,q)<rpであるq∈Xたちの集合をOX,pと呼ぼう。それでは、OX,pはpのXにおける近傍となる。近傍は開集合であるため、OX,pはXにおいて開集合であり、開集合の合併は開集合であるため、
OX=p∈E⋃OX,p
はXにおいて開集合である。この時、全てのp∈E⊂Yに対して、p∈OX,pは自明である。従って、次のことが成立する。
E⊂Y∩OX,p
一方で、OX,pを取り上げた方法によって、次のことが成立する。
OX,p∩Y⊂E
従って、(eq1)、(eq2)によって、
E=Y∩OX,p
そして、OX,pはXにおいて開集合であるため、(a) ⟹ (b) が成立する。
(a) ⟸ (b)
OXはXにおいて開集合であり、E=Y∩OXとしよう。すると、全てのp∈Eは、N⊂OXを満たす近傍を持つ。また、集合の包含関係により、次のことが成立する。
Y∩N⊂E
これは、(definition)とまったく同じ意味の式なので、EはYにおいて開集合である。
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