計量空間における閉包と派生集合
定義
$(X,d)$が距離空間であるとする。$p \in X$であり、$E \subset X$であるとする。
$d(q,p)<r$を満たす全ての$q$を含む集合を点$p$の近傍と定義し、$N_{r}(p)$と記す。この時、$r$を$N_{r}(p)$の半径と呼ぶ。距離を省略して良い場合は$N_{p}$とも記す。
$p$の全ての近傍が$q\ne p$であり、$q\in E$である$q$を含んでいれば、$p$を$E$の集積点と呼ぶ。
$E$の全ての集積点が$E$に含まれる場合、$E$が閉じていると言う。
$N\subset E$を満たす$p$の近傍$N$が存在すれば、$p$を$E$の内点と呼ぶ。
$E$の全ての点が$E$の内点である場合、$E$が開いていると言う。
$E$の全ての集積点の集合を$E$の導集合と呼び、$E^{\prime}$と記す。
$E$と$E^{\prime}$の合併集合を閉包と呼び、$\overline{E}=E\cup E^{\prime}$と記す。
定理1
$A,B\subset X$に対して以下の式が成立する。
(1a) $A\subset B \implies A^{\prime} \subset B^{\prime}$
(1b) $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$
(1c) $(A \cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}$
証明
(1a)
$A\subset B$と仮定する。そして$p\in A^{\prime}$とする。すると$p$は$A$の集積点であるため、集積点の定義により以下の文が成立する。$p$の全ての近傍$N$は$q\ne p$であり、$q\in A$である$q$を含む。この時、$A\subset B$と仮定したので、上記の文は以下の文を意味する。$p$の全ての近傍$N$は$q\ne p$であり、$q\in B$である$q$を含む。したがって、集積点の定義により$p \in B^{\prime}$である。
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(1b)
部分 1. $A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}$
$A\subset A\cup B$であり、$B \subset A\cup B$であるため、$(a1)$によって以下のようになる。
$$ A^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} \quad \text{and} \quad B^{\prime} \subset (A \cup B)^{\prime} $$
したがって
$$ A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} $$
部分 2. $(A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}$
$p \in (A\cup B)^{\prime}$とする。すると集積点の定義により$p$の全ての近傍$N$は$q\ne p$であり、$q\in A\cup B$である$q$を含む。$q\in A\cup B$を再び書くと$q\in A \text{ or } q\in B$であるため、これは$p \in A^{\prime} \text{ or } p\in B^{\prime}$と同じである。したがって$p\in A^{\prime}\cup B^{\prime}$であるため、以下のようになる。
$$ (A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime} $$
部分 3.
上記の結果を総合すると以下のようになる。
$$ A^{\prime}\cup B^{\prime} = (A\cup B)^{\prime} $$
■
(1c)
$A\cap B \subset A$であり、$A\cap B \subset B$であるため、(1a) により以下のようになる。
$$ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime} \quad \text{and} \quad (A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime} $$
したがって
$$ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime} $$
■
定理2
$A,B \subset X$に対して以下の式が成立する。
(2a) $A\subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}$
(2b) $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
(2c) $\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$
証明
(2a)
$A \subset B$と仮定する。すると**(1a)** により$A^{\prime} \subset B^{\prime}$である。したがって
$$ \overline{A} = A\cup A^{\prime} \subset B \cup B^{\prime} = \overline{B} $$
■
(2b)
部分 1. $\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$
$p \in \overline{A\cup B}$とする。すると$p\in A\cup B$であるか$p \in (A\cup B)^{\prime}$であるという意味である。
ケース 1-1. $p \in A\cup B$
この場合$p \in A$であるか$p \in B$である。しかし$A \subset \overline{A}$であり、$B \subset \overline{B}$であるため
$$ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup \overline{B} $$
ケース 1-2. $p\in (A\cup B)^{\prime}$
(1b) によって$p\in (A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$である。これは$p\in A^{\prime}$であるか$p\in B^{\prime}$であるという意味である。しかし$A^{\prime} \subset \overline{A}$であり、$B^{\prime} \subset \overline{B}$であるため、上記のケースと同様に
$$ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup\overline{B} $$
ケース 1-1, 1-2によって以下が成立する。
$$ \overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B} $$
部分 2. $\overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}$
$A \subset A\cup B$であり、$B\subset A\cup B$であるため、$(b1)$によって以下が成立する。
$$ \overline{A} \subset \overline{A\cup B}\quad \text{and} \quad \overline{B}\subset \overline{A\cup B} $$
したがって
$$ \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B} $$
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(2c)
$p \in \overline{A\cap B}$とする。すると$p\in A\cap B$であるか$p\in (A \cap B)^{\prime}$である。
ケース 1. $p\in A\cap B$
この場合$p \in A$でありながら$p \in B$である。しかし$A\subset \overline{A}$であり、$B\subset \overline{B}$であるため
$$ p\in A \ \text{and} \ \ p \in B \implies p\in \overline{A} \ \text{and} \ p \in \overline{B} \implies p\in \overline{A}\cap \overline{B} $$
ケース 2. $p \in (A\cap B)^{\prime}$
(1a) によって$(A\cap B)^{\prime}\subset A^{\prime}$であり、$(A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}$である。しかし$A^{\prime}\subset \overline{A}$であり、$B^{\prime} \subset \overline{B}$であるため
$$ p\in A^{\prime} \ \text{and} \ p\in B^{\prime} \implies p\in \overline{A}\quad \text{and} \quad p\in \overline{B}\implies p\in \overline{A}\cap \overline{B} $$
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定理3
距離空間$(X,d)$と$E \subset X$に対して以下の事実が成立する。
(3a) $\overline{E}$は閉じている。
(3b) $E=\overline{E}$であることと同等であるのは、$E$が閉じていることである。
(3c) $E\subset F$を満たす閉集合$F\subset X$に対して、$\overline{E} \subset F$が成立する。
(3a) と (3c) によって、$\overline{E}$は$E$を含む最小の$X$の閉部分集合である。
証明
(3a)
$p \in X$であり、$p \notin \overline{E}$とする。すなわち$p \in (\overline{E})^{c}$である。すると$p$は$E$の点でも$E^{\prime}$の点でもない。したがって、集積点の定義により$p$は少なくとも一つの$N\cap E=\varnothing$である近傍$N$を持つ。したがって$N\subset (\overline{E})^{c}$であり、$p$は$(\overline{E})^{c}$の任意の点であったので、内点の定義により$(\overline{E})^{c}$の全ての点が内点であり、これは$(\overline{E})^{c}$が開集合であることを意味する。$(\overline{E})^{c}$が開集合であるため、$\overline{E}$は閉集合である。1
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(3b)
$(\implies)$
$E=\overline{E}=E \cup E^{\prime}$であるため、$E$の全ての集積点は$E$の要素である。これは閉集合の定義であるため、$E$は閉じている。または、閉包と閉じることの定義から直ちに成立することがわかる。
$(\impliedby)$
閉集合の定義により、$E$の全ての集積点は$E$に含まれる。したがって、$\overline{E}=E\cup E^{\prime}=E$である。
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(3c)
$F$を$E\subset F \subset X$である閉集合とする。すると**(3b)** によって$F^{\prime} \subset \overline{F}=F$である。また、(2a) によって$E^{\prime} \subset F^{\prime} \subset F$である。したがって、以下が成立する。
$$ E \subset F \quad \text{and} \quad E^{\prime}\subset F $$
したがって
$$ E\cup E^{\prime} =\overline{E} \subset F $$
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定理4
$E$を空集合ではない実数集合であり、上に有界とする。そして$y=\sup E$とする。すると$y \in \overline{E}$である。また、$E$が閉じていれば、$y \in E$である。
証明
$y \in \overline{E}$であることが成立すれば、その後の命題は (3a) により自明であるので、$y \in \overline{E}$のみ証明することにする。2つの場合に分けて証明する。
ケース 1. $y \in E$
$$ y \in E \subset \overline{E} $$
であるため、成立する。
ケース 2. $y \notin E$
すると全ての正数$h>0$に対して、$y-h<x<y$を満たす$x\in E$が存在する。これは$y$の全ての近傍である$N_{h}(y)$内に$E$の要素が必ず含まれることを意味する。したがって、定義により$y$は$E$の集積点である。したがって$y\in E\cup E^{\prime}=\overline{E}$である。
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定理2 参照 ↩︎