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計量空間における閉包と派生集合 📂距離空間

計量空間における閉包と派生集合

定義

(X,d)(X,d)が距離空間であるとする。p∈Xp \in Xであり、E⊂XE \subset Xであるとする。

  • d(q,p)<rd(q,p)<rを満たす全てのqqを含む集合を点ppの近傍と定義し、Nr(p)N_{r}(p)と記す。この時、rrをNr(p)N_{r}(p)の半径と呼ぶ。距離を省略して良い場合はNpN_{p}とも記す。

  • ppの全ての近傍がq≠pq\ne pであり、q∈Eq\in Eであるqqを含んでいれば、ppをEEの集積点と呼ぶ。

  • EEの全ての集積点がEEに含まれる場合、EEが閉じていると言う。

  • N⊂EN\subset Eを満たすppの近傍NNが存在すれば、ppをEEの内点と呼ぶ。

  • EEの全ての点がEEの内点である場合、EEが開いていると言う。

  • EEの全ての集積点の集合をEEの導集合と呼び、E′E^{\prime}と記す。

  • EEとE′E^{\prime}の合併集合を閉包と呼び、E‾=E∪E′\overline{E}=E\cup E^{\prime}と記す。

定理1

A,B⊂XA,B\subset Xに対して以下の式が成立する。

(1a) A⊂B  ⟹  A′⊂B′A\subset B \implies A^{\prime} \subset B^{\prime}

(1b) (A∪B)′=A′∪B′(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}

(1c) (A∩B)′⊂A′∩B′(A \cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}

証明

(1a)

A⊂BA\subset Bと仮定する。そしてp∈A′p\in A^{\prime}とする。するとppはAAの集積点であるため、集積点の定義により以下の文が成立する。ppの全ての近傍NNはq≠pq\ne pであり、q∈Aq\in Aであるqqを含む。この時、A⊂BA\subset Bと仮定したので、上記の文は以下の文を意味する。ppの全ての近傍NNはq≠pq\ne pであり、q∈Bq\in Bであるqqを含む。したがって、集積点の定義によりp∈B′p \in B^{\prime}である。

■

(1b)

  • 部分 1. A′∪B′⊂(A∪B)′A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}

    A⊂A∪BA\subset A\cup Bであり、B⊂A∪BB \subset A\cup Bであるため、(a1)(a1)によって以下のようになる。

    A′⊂(A∪B)′andB′⊂(A∪B)′ A^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime} \quad \text{and} \quad B^{\prime} \subset (A \cup B)^{\prime}

    したがって

    A′∪B′⊂(A∪B)′ A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset (A\cup B)^{\prime}

  • 部分 2. (A∪B)′⊂A′∪B′(A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}

    p∈(A∪B)′p \in (A\cup B)^{\prime}とする。すると集積点の定義によりppの全ての近傍NNはq≠pq\ne pであり、q∈A∪Bq\in A\cup Bであるqqを含む。q∈A∪Bq\in A\cup Bを再び書くとq∈A or q∈Bq\in A \text{ or } q\in Bであるため、これはp∈A′ or p∈B′p \in A^{\prime} \text{ or } p\in B^{\prime}と同じである。したがってp∈A′∪B′p\in A^{\prime}\cup B^{\prime}であるため、以下のようになる。

    (A∪B)′⊂A′∪B′ (A\cup B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cup B^{\prime}

  • 部分 3.

    上記の結果を総合すると以下のようになる。

    A′∪B′=(A∪B)′ A^{\prime}\cup B^{\prime} = (A\cup B)^{\prime}

■

(1c)

A∩B⊂AA\cap B \subset Aであり、A∩B⊂BA\cap B \subset Bであるため、(1a) により以下のようになる。

(A∩B)′⊂A′and(A∩B)′⊂B′ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime} \quad \text{and} \quad (A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}

したがって

(A∩B)′⊂A′∩B′ (A\cap B)^{\prime} \subset A^{\prime}\cap B^{\prime}

■

定理2

A,B⊂XA,B \subset Xに対して以下の式が成立する。

(2a) A⊂B  ⟹  A‾⊂B‾A\subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}

(2b) A∪B‾=A‾∪B‾\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}

(2c) A∩B‾⊂A‾∩B‾\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}

証明

(2a)

A⊂BA \subset Bと仮定する。すると**(1a)** によりA′⊂B′A^{\prime} \subset B^{\prime}である。したがって

A‾=A∪A′⊂B∪B′=B‾ \overline{A} = A\cup A^{\prime} \subset B \cup B^{\prime} = \overline{B}

■

(2b)

  • 部分 1. A∪B‾⊂A‾∪B‾\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}

    p∈A∪B‾p \in \overline{A\cup B}とする。するとp∈A∪Bp\in A\cup Bであるかp∈(A∪B)′p \in (A\cup B)^{\prime}であるという意味である。

    • ケース 1-1. p∈A∪Bp \in A\cup B

      この場合p∈Ap \in Aであるかp∈Bp \in Bである。しかしA⊂A‾A \subset \overline{A}であり、B⊂B‾B \subset \overline{B}であるため

      p∈A‾ or p∈B‾  ⟹  p∈A‾∪B‾ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup \overline{B}

    • ケース 1-2. p∈(A∪B)′p\in (A\cup B)^{\prime}

      (1b) によってp∈(A∪B)′=A′∪B′p\in (A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}である。これはp∈A′p\in A^{\prime}であるかp∈B′p\in B^{\prime}であるという意味である。しかしA′⊂A‾A^{\prime} \subset \overline{A}であり、B′⊂B‾B^{\prime} \subset \overline{B}であるため、上記のケースと同様に

      p∈A‾ or p∈B‾  ⟹  p∈A‾∪B‾ p\in \overline{A}\ \text{or} \ p \in \overline{B}\implies p \in \overline{A}\cup\overline{B}

    ケース 1-1, 1-2によって以下が成立する。

    A∪B‾⊂A‾∪B‾ \overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}

  • 部分 2. A‾∪B‾⊂A∪B‾\overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}

    A⊂A∪BA \subset A\cup Bであり、B⊂A∪BB\subset A\cup Bであるため、(b1)(b1)によって以下が成立する。

    A‾⊂A∪B‾andB‾⊂A∪B‾ \overline{A} \subset \overline{A\cup B}\quad \text{and} \quad \overline{B}\subset \overline{A\cup B}

    したがって

    A‾∪B‾⊂A∪B‾ \overline{A}\cup \overline{B} \subset \overline{A\cup B}

■

(2c)

p∈A∩B‾p \in \overline{A\cap B}とする。するとp∈A∩Bp\in A\cap Bであるかp∈(A∩B)′p\in (A \cap B)^{\prime}である。

  • ケース 1. p∈A∩Bp\in A\cap B

    この場合p∈Ap \in Aでありながらp∈Bp \in Bである。しかしA⊂A‾A\subset \overline{A}であり、B⊂B‾B\subset \overline{B}であるため

    p∈A and  p∈B  ⟹  p∈A‾ and p∈B‾  ⟹  p∈A‾∩B‾ p\in A \ \text{and} \ \ p \in B \implies p\in \overline{A} \ \text{and} \ p \in \overline{B} \implies p\in \overline{A}\cap \overline{B}

  • ケース 2. p∈(A∩B)′p \in (A\cap B)^{\prime}

    (1a) によって(A∩B)′⊂A′(A\cap B)^{\prime}\subset A^{\prime}であり、(A∩B)′⊂B′(A\cap B)^{\prime} \subset B^{\prime}である。しかしA′⊂A‾A^{\prime}\subset \overline{A}であり、B′⊂B‾B^{\prime} \subset \overline{B}であるため

    p∈A′ and p∈B′  ⟹  p∈A‾andp∈B‾  ⟹  p∈A‾∩B‾ p\in A^{\prime} \ \text{and} \ p\in B^{\prime} \implies p\in \overline{A}\quad \text{and} \quad p\in \overline{B}\implies p\in \overline{A}\cap \overline{B}

■

定理3

距離空間(X,d)(X,d)とE⊂XE \subset Xに対して以下の事実が成立する。

(3a) E‾\overline{E}は閉じている。

(3b) E=E‾E=\overline{E}であることと同等であるのは、EEが閉じていることである。

(3c) E⊂FE\subset Fを満たす閉集合F⊂XF\subset Xに対して、E‾⊂F\overline{E} \subset Fが成立する。

(3a) と (3c) によって、E‾\overline{E}はEEを含む最小のXXの閉部分集合である。

証明

(3a)

p∈Xp \in Xであり、p∉E‾p \notin \overline{E}とする。すなわちp∈(E‾)cp \in (\overline{E})^{c}である。するとppはEEの点でもE′E^{\prime}の点でもない。したがって、集積点の定義によりppは少なくとも一つのN∩E=∅N\cap E=\varnothingである近傍NNを持つ。したがってN⊂(E‾)cN\subset (\overline{E})^{c}であり、ppは(E‾)c(\overline{E})^{c}の任意の点であったので、内点の定義により(E‾)c(\overline{E})^{c}の全ての点が内点であり、これは(E‾)c(\overline{E})^{c}が開集合であることを意味する。(E‾)c(\overline{E})^{c}が開集合であるため、E‾\overline{E}は閉集合である。1

■

(3b)

  • (  ⟹  )(\implies)

    E=E‾=E∪E′E=\overline{E}=E \cup E^{\prime}であるため、EEの全ての集積点はEEの要素である。これは閉集合の定義であるため、EEは閉じている。または、閉包と閉じることの定義から直ちに成立することがわかる。

  • (  ⟸  )(\impliedby)

    閉集合の定義により、EEの全ての集積点はEEに含まれる。したがって、E‾=E∪E′=E\overline{E}=E\cup E^{\prime}=Eである。

■

(3c)

FFをE⊂F⊂XE\subset F \subset Xである閉集合とする。すると**(3b)** によってF′⊂F‾=FF^{\prime} \subset \overline{F}=Fである。また、(2a) によってE′⊂F′⊂FE^{\prime} \subset F^{\prime} \subset Fである。したがって、以下が成立する。

E⊂FandE′⊂F E \subset F \quad \text{and} \quad E^{\prime}\subset F

したがって

E∪E′=E‾⊂F E\cup E^{\prime} =\overline{E} \subset F

■

定理4

EEを空集合ではない実数集合であり、上に有界とする。そしてy=sup⁡Ey=\sup Eとする。するとy∈E‾y \in \overline{E}である。また、EEが閉じていれば、y∈Ey \in Eである。

証明

y∈E‾y \in \overline{E}であることが成立すれば、その後の命題は (3a) により自明であるので、y∈E‾y \in \overline{E}のみ証明することにする。2つの場合に分けて証明する。

  • ケース 1. y∈Ey \in E

    y∈E⊂E‾ y \in E \subset \overline{E}

    であるため、成立する。

  • ケース 2. y∉Ey \notin E

    すると全ての正数h>0h>0に対して、y−h<x<yy-h<x<yを満たすx∈Ex\in Eが存在する。これはyyの全ての近傍であるNh(y)N_{h}(y)内にEEの要素が必ず含まれることを意味する。したがって、定義によりyyはEEの集積点である。したがってy∈E∪E′=E‾y\in E\cup E^{\prime}=\overline{E}である。

    ■

  1. 定理2 参照 ↩︎