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解析学における微分積分学の基本定理1 📂解析学

解析学における微分積分学の基本定理1

要旨1

ffが区間[a,b][a,b]でリーマン積分可能な関数だとしよう。そして、a≤x≤ba\le x \le bに対して次のようにFFを定義しよう。

F(x)=∫axf(t)dt F(x) = \int _{a} ^{x} f(t)dt

  • (a) すると、FFは[a,b][a,b]で連続である。
  • (b) ffがx0∈[a,b]x_{0}\in [a,b]で連続ならば、FFはx0x_{0}で微分可能であり、F′(x0)=f(x0)F^{\prime}(x_{0})=f(x_{0})を満たす。

説明

微分積分学の基本定理1として知られている定理だ。通常、FTC1Funcamental Theorem of Calculus1と略される。ffの定積分で定義されたFFが微分可能であれば、ffを導関数とするという意味を持つ。

証明

(a)

ffが積分可能だと仮定したので有界だ。従って、M=sup⁡[a,b]∣f∣<∞M=\sup \limits_{[a,b]}\left| f \right| <\inftyである。この時M=0M=0ならばf=F=0f=F=0は自明だ。従ってM>0M>0としよう。そしてa≤x<y≤ba\le x< y \le bとしよう。積分可能性は区間内で保持されるので、次が成立する。

∣F(y)−F(x)∣=∣∫ayf(t)dt−∫axf(t)dt∣=∣∫axf(t)dt+∫xyf(t)dt−∫axf(t)dt∣=∣∫xyf(t)dt∣ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| {\color{blue}\int_{a}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| {\color{blue} \int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{x}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}

また、積分の絶対値は絶対値の積分より小さいので、次が成立する。

∣F(y)−F(x)∣=∣∫xyf(t)dt∣≤∫xy∣f(t)∣dt≤∫xyMdt=M(y−x) \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \\ & \le \int_{x}^{y}\left| f(t) \right|dt \\ &\le \int_{x}^{y}Mdt \\ &= M(y-x) \end{aligned} \label{eq2} \end{equation}

これを整理すると、次のようになる。

∣F(x)−F(y)∣≤M(y−x) \left| F(x)-F(y) \right| \le M(y-x)

今、任意の正数ε>0\varepsilon >0が与えられたとしよう。そしてδ=εM\delta = \dfrac{\varepsilon}{M}としよう。すると、次が成立することがわかる。

∣y−x∣<δ  ⟹  ∣F(y)−F(x)∣<ε,∀x,y∈[a,b] \left|y-x \right| <\delta \quad \implies \quad \left|F(y)-F(x) \right|<\varepsilon,\quad \forall x,y \in [a,b]

従って、連続関数の定義によりFFは連続2である。

■

(b)

任意の正数ε>0\varepsilon >0が与えられたとしよう。ffがx0x_{0}で連続だと仮定すると、定義により次のδ>0\delta >0が存在する。

∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ε,x∈[a,b] \begin{equation} \left|x-x_{0} \right| <\delta \quad \implies \quad \left|f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon,\quad x\in[a,b] \label{eq3} \end{equation}

すると、微分係数の定義により、次を示せば証明が完了する。

F′(x0):=lim⁡x→x0F(x)−F(x0)x−x0=f(x0) F^{\prime}(x_{0}) := \lim \limits_{x\to x_{0}}\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}} = f(x_{0})

今、t∈[a,b]t \in [a,b]がx0<t<x0+δx_{0} < t <x_{0}+\deltaを満たすとしよう。（x0−δ<t<x0x_{0}-\delta < t < x_{0}の場合でも、以下で符号が少し変わるだけで、過程は同じだ。）すると、次が成立する。

∣F(t)−F(x0)t−x0−f(x0)∣=∣1t−x0(∫atf(x)dx−∫ax0f(x)dx)−f(x0)∣=∣1t−x0∫x0tf(x)dx−f(x0)∣=∣1t−x0∫x0tf(x)dx−1t−x0∫x0tf(x0)dx∣=∣1t−x0∫x0t(f(x)−f(x0))dx∣<∣1t−x0∫x0tεdx∣<∣1t−x0ε(t−x0)∣=ε \begin{align*} \left| \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}-f(x_{0}) \right| &=\left| \frac{1}{t-x_{0}}\left( \int_{a}^{t}f(x)dx-\int_{a}^{x_{0}}f(x)dx \right) -f(x_{0}) \right| \\ &=\left|\frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -f(x_{0}) \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -\frac{1}{t-x_{0}}\int_{x_{0}}^{t}f(x_{0})dx \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\left( f(x)-f(x_{0}) \right)dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\varepsilon dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}}\varepsilon (t-x_{0}) \right| \\ &= \varepsilon \end{align*}

2番目の等号は(eq1)\eqref{eq1}が成立するのと同じ理由で成立する。3番目の等号は(eq2)\eqref{eq2}が成立するのと同じ理由で成立する。4番目の等号は積分が線形であるため成立する。1番目の不等号は(eq3)\eqref{eq3}によって成立する。ε\varepsilonは任意の正数なので、次を得る。

F(t)−F(x0)t−x0=f(x0) \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=f(x_{0})

従って、次が成立する。

F′(x0)=lim⁡t→x0F(t)−F(x0)t−x0=lim⁡t→x0f(x0)=f(x0) F^{\prime}(x_{0})=\lim \limits_{t\to x_{0}}\frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=\lim \limits_{t\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{0})

それゆえ、FFはx0x_{0}で微分可能であり、x0x_{0}での微分係数の値はf(x0)f(x_{0})と同じである。

■

参照

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p133-134 ↩︎

  2. 正確には一様連続だが、一様連続なら連続である。 ↩︎