解析学における微分積分学の基本定理1
要旨1
$f$が区間$[a,b]$でリーマン積分可能な関数だとしよう。そして、$a\le x \le b$に対して次のように$F$を定義しよう。
$$ F(x) = \int _{a} ^{x} f(t)dt $$
- (a) すると、$F$は$[a,b]$で連続である。
- (b) $f$が$x_{0}\in [a,b]$で連続ならば、$F$は$x_{0}$で微分可能であり、$F^{\prime}(x_{0})=f(x_{0})$を満たす。
説明
微分積分学の基本定理1として知られている定理だ。通常、FTC1Funcamental Theorem of Calculus1と略される。$f$の定積分で定義された$F$が微分可能であれば、$f$を導関数とするという意味を持つ。
証明
(a)
$f$が積分可能だと仮定したので有界だ。従って、$M=\sup \limits_{[a,b]}\left| f \right| <\infty$である。この時$M=0$ならば$f=F=0$は自明だ。従って$M>0$としよう。そして$a\le x< y \le b$としよう。積分可能性は区間内で保持されるので、次が成立する。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| {\color{blue}\int_{a}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| {\color{blue} \int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{x}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$
また、積分の絶対値は絶対値の積分より小さいので、次が成立する。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \\ & \le \int_{x}^{y}\left| f(t) \right|dt \\ &\le \int_{x}^{y}Mdt \\ &= M(y-x) \end{aligned} \label{eq2} \end{equation} $$
これを整理すると、次のようになる。
$$ \left| F(x)-F(y) \right| \le M(y-x) $$
今、任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとしよう。そして$\delta = \dfrac{\varepsilon}{M}$としよう。すると、次が成立することがわかる。
$$ \left|y-x \right| <\delta \quad \implies \quad \left|F(y)-F(x) \right|<\varepsilon,\quad \forall x,y \in [a,b] $$
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(b)
任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとしよう。$f$が$x_{0}$で連続だと仮定すると、定義により次の$\delta >0$が存在する。
$$ \begin{equation} \left|x-x_{0} \right| <\delta \quad \implies \quad \left|f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon,\quad x\in[a,b] \label{eq3} \end{equation} $$
すると、微分係数の定義により、次を示せば証明が完了する。
$$ F^{\prime}(x_{0}) := \lim \limits_{x\to x_{0}}\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}} = f(x_{0}) $$
今、$t \in [a,b]$が$x_{0} < t <x_{0}+\delta$を満たすとしよう。（$x_{0}-\delta < t < x_{0}$の場合でも、以下で符号が少し変わるだけで、過程は同じだ。）すると、次が成立する。
$$ \begin{align*} \left| \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}-f(x_{0}) \right| &=\left| \frac{1}{t-x_{0}}\left( \int_{a}^{t}f(x)dx-\int_{a}^{x_{0}}f(x)dx \right) -f(x_{0}) \right| \\ &=\left|\frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -f(x_{0}) \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -\frac{1}{t-x_{0}}\int_{x_{0}}^{t}f(x_{0})dx \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\left( f(x)-f(x_{0}) \right)dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\varepsilon dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}}\varepsilon (t-x_{0}) \right| \\ &= \varepsilon \end{align*} $$
2番目の等号は$\eqref{eq1}$が成立するのと同じ理由で成立する。3番目の等号は$\eqref{eq2}$が成立するのと同じ理由で成立する。4番目の等号は積分が線形であるため成立する。1番目の不等号は$\eqref{eq3}$によって成立する。$\varepsilon$は任意の正数なので、次を得る。
$$ \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=f(x_{0}) $$
従って、次が成立する。
$$ F^{\prime}(x_{0})=\lim \limits_{t\to x_{0}}\frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=\lim \limits_{t\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{0}) $$
それゆえ、$F$は$x_{0}$で微分可能であり、$x_{0}$での微分係数の値は$f(x_{0})$と同じである。
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