📂解析学

積分可能な関数と絶対値

この記事はリーマン-スティルチェス積分を基に書かれている。$\alpha=\alpha (x)=x$とすると、リーマン積分と同じだ。

定理¹

関数$f$が区間$[a,b]$でリーマン（-スティルチェス）積分可能であるとしよう。すると

• (a) $\left|f\right|$も$[a,b]$で積分可能である。

• (b) さらに、以下の不等式が成り立つ。

  $$\left|\int_{a}^{b}fd\alpha \right| \le \int_{a}^{b}\left| f\right| d\alpha$$

証明

(a)

積分可能性は有界な関数に対して定義される。従って、$f$が積分可能であるという前提は、$f$が有界であるという前提を含む。$f$が有界であるため、$M, m$を上界、下界としよう。

$$M=\sup_{[a,b]} f \quad \text{and} \quad m= \inf_{[a,b]}f$$

そして、$\phi (t)=\left| t \right|$としよう。その場合、$\phi$は$[m,M]$で連続な関数である。また、以下が成り立つ。

$$\phi \circ f=\left| f\right|$$

連続な関数との合成は積分可能性を保持するため、$|f|$は$[a,b]$で積分可能である。

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(b)

正数$\varepsilon >0$が与えられたとする。すると、積分可能の必要十分条件により、以下の式を満たす$[a,b]$の分割$P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$が存在する。

$$U(P,\left| f\right|,\alpha) - L(P,\left| f\right|,\alpha) < \varepsilon$$

さらに、以下の不等式が成り立つ。

$$U(P,\left| f \right|,\alpha) < \int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon$$

すると、積分と上和の定義により、以下の式が成り立つ。

$$\int_{a}^{b} f d\alpha \le U(P,f,\alpha) \le U(P,\left| f \right|,\alpha ) <\int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon$$

さらに、$f$が積分可能ならば$-f$も積分可能であるため、以下の式が成り立つ。

$$-\int_{a}^{b} f d\alpha=\int_{a}^{b}(-f)d\alpha \le U(P,-f,\alpha) \le U(P,\left| f \right|,\alpha ) <\int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha +\varepsilon$$

すると、$\varepsilon$は任意の正数であるため、以下の2つの式が成り立つ。

$$\begin{align*} \int_{a}^{b}f d\alpha &\le \int _{a}^{b} \left| f \right| d\alpha \\ -\int_{a}^{b}f d\alpha &\le \int _{a}^{b} \left| f \right| d\alpha \end{align*}$$

したがって、以下を得る。

$$\left| \int_{a}^{b}fd\alpha \right| \le \int_{a}^{b}\left| f \right| d\alpha$$

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