2次/3次/n次方程式の根と係数の関係
式
二次方程式の根と係数の関係
二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の二つの根を$\alpha$と$\beta$とする。すると、以下の式が成立する。
$$ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a} $$
三次方程式の根と係数の関係
三次方程式$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の三つの根を$\alpha$、$\beta$、$\gamma$とする。すると、以下の式が成立する。
$$ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} $$
証明
二次方程式
二次項の係数が$a$で、二つの根が$\alpha$と$\beta$の二次方程式は、以下のように表現される。
$$ a(x-\alpha) ( x-\beta)=0 $$
左辺を展開すると
$$ \begin{align*} a(x-\alpha) (x -\beta) =&\ a \left[ x^{2}-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta \right] \\ =&\ ax^{2} -a(\alpha + \beta) x +a\alpha \beta \end{align*} $$
したがって
$$ b=-a(\alpha + \beta)\quad \& \quad a\alpha\beta=c $$
上記の式を二つの根について整理すると
$$ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a} $$
■
三次方程式
証明方法は二次方程式の場合と同じだ。三次項の係数が$a$で、三つの根が$\alpha$、$\beta$、$\gamma$の三次方程式は、以下のように表現される。
$$ a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma)=0 $$
左辺を展開すると
$$ \begin{align*} a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) =&\a[x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta] (x-\gamma) \\ =&\ a\left[x^{2}-(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-\alpha\beta\gamma \right] \\ =&\ ax^{2}-a(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-a\alpha\beta\gamma \end{align*} $$
したがって
$$ b=-a(\alpha+\beta + \gamma) \quad \& \quad c=a(\alpha\beta+\beta \gamma +\gamma \alpha) \quad \& \quad d=-a\alpha\beta\gamma $$
上記の式を三つの根について整理すると
$$ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} $$
■
四次以上の方程式の根と係数の関係
上記の二つの式より、根が$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$である四次方程式$av^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$の根と係数の関係は以下のようになると推測でき、実際にそうである。
$$ \begin{align*} \alpha+\beta+\gamma+\delta= -\frac{b}{a}&& \& && \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta + \delta\alpha=\frac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma + \beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-\frac{c}{a} && \& && \alpha\beta\gamma\delta=\frac{d}{a} \end{align*} $$
もちろん、任意の$n$次方程式に対しても同様の方法で根と係数の関係が成立する。最高次項の係数が$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ \cdots$であれば
$$ \begin{align*} \text{모든 근의 합} =&-\frac{b}{a} \\ \text{모든 ‘두 근의 곱’의 합} =&\ \frac{c}{a} \\ \text{모든 ‘세 근의 곱’의 합} =&\ -\frac{d}{a} \\ \text{모든 ‘네 근의 곱’의 합} =&\ \frac{e}{a} \\ \text{모든 ‘다섯 근의 곱’의 합} =&\ -\frac{f}{a} \\ \vdots& \end{align*} $$