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2次/3次/n次方程式の根と係数の関係 📂抽象代数

2次/3次/n次方程式の根と係数の関係

式

二次方程式の根と係数の関係

二次方程式ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0の二つの根をα\alphaとβ\betaとする。すると、以下の式が成立する。

α+β=−ba&αβ=ca \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a}

三次方程式の根と係数の関係

三次方程式ax3+bx2+cx+d=0ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0の三つの根をα\alpha、β\beta、γ\gammaとする。すると、以下の式が成立する。

α+β+γ=−ba&αβ+βγ+γα=ca&αβγ=−da \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}

証明

二次方程式

二次項の係数がaaで、二つの根がα\alphaとβ\betaの二次方程式は、以下のように表現される。

a(x−α)(x−β)=0 a(x-\alpha) ( x-\beta)=0

左辺を展開すると

a(x−α)(x−β)= a[x2−(α+β)x+αβ]= ax2−a(α+β)x+aαβ \begin{align*} a(x-\alpha) (x -\beta) =&\ a \left[ x^{2}-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta \right] \\ =&\ ax^{2} -a(\alpha + \beta) x +a\alpha \beta \end{align*}

したがって

b=−a(α+β)&aαβ=c b=-a(\alpha + \beta)\quad \& \quad a\alpha\beta=c

上記の式を二つの根について整理すると

α+β=−ba&αβ=ca \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a}

■

三次方程式

証明方法は二次方程式の場合と同じだ。三次項の係数がaaで、三つの根がα\alpha、β\beta、γ\gammaの三次方程式は、以下のように表現される。

a(x−α)(x−β)(x−γ)=0 a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma)=0

左辺を展開すると

a(x−α)(x−β)(x−γ)=\a[x2−(α+β)x+αβ](x−γ)= a[x2−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ]= ax2−a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x−aαβγ \begin{align*} a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) =&\a[x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta] (x-\gamma) \\ =&\ a\left[x^{2}-(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-\alpha\beta\gamma \right] \\ =&\ ax^{2}-a(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-a\alpha\beta\gamma \end{align*}

したがって

b=−a(α+β+γ)&c=a(αβ+βγ+γα)&d=−aαβγ b=-a(\alpha+\beta + \gamma) \quad \& \quad c=a(\alpha\beta+\beta \gamma +\gamma \alpha) \quad \& \quad d=-a\alpha\beta\gamma

上記の式を三つの根について整理すると

α+β+γ=−ba&αβ+βγ+γα=ca&αβγ=−da \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}

■

四次以上の方程式の根と係数の関係

上記の二つの式より、根がα\alpha、β\beta、γ\gamma、δ\deltaである四次方程式av4+bx3+cx2+dx+e=0av^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0の根と係数の関係は以下のようになると推測でき、実際にそうである。

α+β+γ+δ=−ba&αβ+βγ+γδ+δα=caαβγ+βγδ+γδα+δαβ=−ca&αβγδ=da \begin{align*} \alpha+\beta+\gamma+\delta= -\frac{b}{a}&& \& && \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta + \delta\alpha=\frac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma + \beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-\frac{c}{a} && \& && \alpha\beta\gamma\delta=\frac{d}{a} \end{align*}

もちろん、任意のnn次方程式に対しても同様の方法で根と係数の関係が成立する。最高次項の係数がa, b, c, d, e, f, ⋯a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ \cdotsであれば

모든 근의 합=−ba모든 ‘두 근의 곱’의 합= ca모든 ‘세 근의 곱’의 합= −da모든 ‘네 근의 곱’의 합= ea모든 ‘다섯 근의 곱’의 합= −fa⋮ \begin{align*} \text{모든 근의 합} =&-\frac{b}{a} \\ \text{모든 ‘두 근의 곱’의 합} =&\ \frac{c}{a} \\ \text{모든 ‘세 근의 곱’의 합} =&\ -\frac{d}{a} \\ \text{모든 ‘네 근의 곱’의 합} =&\ \frac{e}{a} \\ \text{모든 ‘다섯 근의 곱’의 합} =&\ -\frac{f}{a} \\ \vdots& \end{align*}