エルミート微分方程式と級数解
定義
以下の微分方程式をエルミートHermite 微分方程式と言う。
$$ y^{\prime \prime}-2xy^{\prime}+2ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots $$
エルミート微分方程式の解をエルミート多項式Hermite polynomialと呼び、よく$H_{n}(x)$と表記される。
$$ \begin{align*} H_{0}(x) &= 1 \\ H_{1}(x) &= 2x \\ H_{2}(x) &= 4x^{2} - 2 \\ H_{3}(x) &= 8x^{3} - 12x \\ H_{4}(x) &= 16x^{4} - 48x^{2} + 12 \\ H_{5}(x) &= 32x^{5} - 160x^{3} + 120x \\ \vdots& \end{align*} $$
説明
Hermiteはフランス人だから、[エルミート]と読むのが正しい。英語で読むと[ハーミット]、[ハーマイト]くらいになる。
上記の形は具体的に物理学者のエルミート関数と呼ばれ、別の表現として確率論者のエルミート関数がある。
係数に独立変数$x$が含まれる形式であり、解がべき級数の形を仮定すると、解ける。チェビシェフ方程式の解をチェビシェフ多項式と呼び、よく$T_{n}(x)$と表記される。
解法
$$ y^{\prime \prime}-2xy^{\prime}+2\lambda y=0 $$
与えられたエルミート微分方程式の解を以下のような級数と仮定する。
$$ y=\sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} $$
級数解として仮定して解法を始めるが、解法の最後で$y$の項が有限であることがわかる。微分方程式に代入するため$y^{\prime}, y^{\prime \prime}$を求めると、それぞれ以下のようになる。
$$ \begin{align*} y^{\prime} =&\ \sum \limits _{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1} \\ y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits _{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} \end{align*} $$
これを微分方程式に代入すると、以下のようになる。
$$ \sum \limits _{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2\sum \limits _{n=1}^{\infty}na_{n}x^{n}+2\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0 $$
$x$の次数を合わせるため、最初の級数のインデックスを変えると
$$ \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -2\sum \limits _{n=1}^{\infty}na_{n}x^{n}+2\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0 $$
$n=0$の項を外に出して級数を1つにまとめると、以下のようになる。
$$ 2a_{2}+2\lambda a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty}\left[ (n+2)(n+1)a_{n+2} -2na_{n}+2\lambda a_{n}\right]x^{n}=0 $$
上記の式が成り立つためには、全ての項の係数が$0$でなければならないので、以下の2つの条件を得る。
$$ \begin{align*} 2a_{2}+2\lambda a_{0} =&\ 0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_{n} +2\lambda a_{n} =&\ 0 \end{align*} $$
しかし、下の式で$n=0$を代入すると、上記の式を得ることができるので、実質的に1つの条件である。$a_{n+2}$について整理すると、以下のような再帰式を得る。
$$ a_{n+2}=\frac{2(n-\lambda)}{(n+2)(n+1)}a_{n} $$
この再帰式から、$n=2$以上の場合は、$a_{0}$または$a_{1}$と表されることがわかる。まず、偶数の$n$について求めると、以下のようになる。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} a_{2} =&\ \frac{2(-\lambda)}{2\cdot 1}a_{0} \\ a_{4} =&\ \frac{2(2-\lambda)}{4\cdot 3}a_{2}=\frac{2^{2}(2-\lambda)(-\lambda)}{4!}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{2(4-\lambda)}{6\cdot 5}a_{4}=\frac{2^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)(-\lambda)}{6!}a_{0} \\ \vdots & \\ a_{2n} =&\ \frac{2^{n}(2n-2-\lambda)(2n-4-\lambda)\cdots(2-\lambda)(-\lambda)}{(2n)!}a_{0} \end{aligned} \label{1} \end{equation} $$
奇数について求めると
$$ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{2(1-\lambda)}{3\cdot 2}a_{1} \\ a_{5} =&\ \frac{2(3-\lambda)}{5\cdot 4}a_{3}=\frac{2^{2}(3-\lambda)(1-\lambda)}{5!}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{2(5-\lambda)}{7\cdot 6}a_{5}=\frac{2^{3}(5-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda)}{7!}a_{1} \\ \vdots & \\ a_{2n+1} =&\ \frac{2^{n}(2n-1-\lambda)(2n-3-\lambda)\cdots(3-\lambda)(1-\lambda)}{(2n+1)!}a_{1} \end{align*} $$
上記の結果により、級数解を大きく2つの部分に分けることができる。
$$ \begin{align*} y =&\ \sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ \left[ a_{0}+a_{2}x^{2}+a_{4}x^{4}+\cdots\right]+\left[ a_{1}x + a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+\cdots \right] \\ =&\ a_{0}\left[ 1-\lambda x^{2} + \frac{(2-\lambda)(-\lambda)}{3!}x^{4}+\cdots \right]+a_{1}\left[x + \frac{1-\lambda}{3}x^{3}+\frac{2^{2}(3-\lambda)(1-\lambda)}{5!}x^{5} + \cdots \right] \end{align*} $$
しかし、ここで$\lambda$が非負の整数であれば、2つの部分のうちの1つは有限の項だけが残る。例えば、$\lambda=4$であれば、$\eqref{1}$でわかるように、$a_{6}=a_{8}=\cdots=a_{2n}=0$である。したがって、微分方程式の定数$\lambda$が非負の整数であるとき、発散しない解を得ることができる。各λに応じた解を$H_{\lambda}$と表記すると
$$ \begin{align*} H_{0}(x) =&\ a_{0} \\ H_{1}(x) =&\ a_{1}x \\ H_{2}(x) =&\ a_{0}(1-2x^{2}) \\ H_{3}(x) =&\ a_{1}\left( x -\frac{2}{3}x^{3} \right) \\ H_{4}(x) =&\ a_{0} \left( 1-4x^{2}+\frac{4}{3}x^{4} \right) \\ H_{5}(x) =&\ a_{1}\left( x+-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{4}{15}x^{5} \right) \\ \vdots & \end{align*} $$
今、$H_{n}(x)$の最高次項$x^{n}$の係数が$2^{n}$になるように$a_{0}$、$a_{1}$に値を代入すると、以下のような物理学者のエルミート多項式 を得る。
$$ \begin{align*} H_{0}(x) =&\ 1 \\ H_{1}(x) =&\ 2x \\ H_{2}(x) =&\ 4x^{2}-2 \\ H_{3}(x) =&\ 8x^{3}-12x \\ H_{4}(x) =&\ 16x^{4}-48x^{2}+12 \\ H_{5}(x) =&\ 32x^{5}-160x^{3}+120x \\ \vdots & \end{align*} $$
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