角運動量演算子の固有関数は球面調和関数である。
📂量子力学角運動量演算子の固有関数は球面調和関数である。
定理
角運動量演算子 L2とLzは、定数 l、mによって決まる同時固有関数 ∣ℓ,m⟩を持つ。
L2∣ℓ,m⟩Lz∣ℓ,m⟩=ℏ2ℓ(ℓ+1)∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩
これにおいて、角運動量演算子の固有関数 ∣ℓ,m⟩は実際には球面調和関数 Ylmと同じだ。
∣ℓ,m⟩=Ylm
証明
球座標系において、角運動量演算子 Lzは以下の通りだ。
Lz=−iℏ∂ϕ∂
また、角運動量のはしご演算子は以下の通りだ。
L+L−=−ℏ2(∂θ2∂2+cotθ∂θ∂+cot2θ∂ϕ2∂2+i∂ϕ∂)
それではL2=L+L−+Lz2−ℏLzなので、以下の式を得る。
L2=−ℏ2(∂θ2∂2+cotθ∂θ∂+cot2θ∂ϕ2∂2+i∂ϕ∂)+(−iℏ∂ϕ∂)2−ℏ(−iℏ∂ϕ∂)=−ℏ2(∂θ2∂2+cotθ∂θ∂+cot2θ∂ϕ2∂2+i∂ϕ∂)−ℏ2∂ϕ2∂2+iℏ2∂ϕ∂=−ℏ2(∂θ2∂2+cotθ∂θ∂+cot2θ∂ϕ2∂2+∂ϕ2∂2)=−ℏ2(sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+(cot2+1)θ∂ϕ2∂2)=−ℏ2(sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+sin2θ1∂ϕ2∂2)
これを固有関数に適用すると、
L2∣ℓ,m⟩=−ℏ2[sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+sin2θ1∂ϕ2∂2]∣ℓ,m⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ℓ,m⟩
したがって、次が得られる。
[sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+sin2θ1∂ϕ2∂2]∣ℓ,m⟩=−ℓ(ℓ+1)∣ℓ,m⟩
しかし、ここで∣ℓ,m⟩=Θ(θ)Φ(ϕ)のように変数分離されると仮定すると、球面調和関数が満たす微分方程式と正確に同じだということがわかる。
⟹⟹[sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+sin2θ1∂ϕ2∂2]Θ(θ)Φ(ϕ)sinθΦdθd(sinθdθdΘ)+sin2θΘdϕ2d2ΦΘsinθ1dθd(sinθdθdΘ)+Φsin2θ1dϕ2d2Φ=−ℓ(ℓ+1)Θ(θ)Φ(ϕ)=−ℓ(ℓ+1)ΘΦ=−ℓ(ℓ+1)
したがって、角運動量演算子の固有関数 ∣ℓ,m⟩は実際には球面調和関数 Ylmと同じだ。
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