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角運動量演算子の固有関数は球面調和関数である。 📂量子力学

角運動量演算子の固有関数は球面調和関数である。

定理

角運動量演算子 L2L^{2}LzL_{z}は、定数 llmmによって決まる同時固有関数 ,m\ket{\ell, m}を持つ。

L2,m=2(+1),mLz,m=m,m \begin{align*} L^{2}\ket{\ell, m} &= \hbar^{2}\ell(\ell+1)\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*}

これにおいて、角運動量演算子の固有関数 ,m\ket{\ell, m}は実際には球面調和関数 YlmY_{l}^{m}と同じだ。

,m=Ylm \ket{\ell, m} = Y_{l}^{m}

証明

球座標系において、角運動量演算子 LzL_{z}以下の通りだ。

Lz=iϕ L_{z} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi}

また、角運動量のはしご演算子以下の通りだ。

L+L=2(2θ2+cotθθ+cot2θ2ϕ2+iϕ) L_{+}L_{-} = -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} +\i\frac{\partial}{\partial \phi}\right)

それではL2=L+L+Lz2LzL^{2} = L_{+}L_{-} + L_{z}^{2} - \hbar L_{z}なので、以下の式を得る。

L2=2(2θ2+cotθθ+cot2θ2ϕ2+iϕ)+(iϕ)2(iϕ)=2(2θ2+cotθθ+cot2θ2ϕ2+iϕ)22ϕ2+i2ϕ=2(2θ2+cotθθ+cot2θ2ϕ2+2ϕ2)=2(1sinθθ(sinθθ)+(cot2+1)θ2ϕ2)=2(1sinθθ(sinθθ)+1sin2θ2ϕ2) \begin{align*} L^{2} &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} +\i\frac{\partial}{\partial \phi}\right) + \left( -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \right)^{2} -\hbar \left( -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \right)\\ &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \i\frac{\partial}{\partial \phi}\right) - \hbar ^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \i \hbar ^{2}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}\right) \\ &= -\hbar ^{2} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + (\cot ^{2} + 1) \theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} \right) \\ &= -\hbar ^{2} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} \right) \\ \end{align*}

これを固有関数に適用すると、

L2,m=2[1sinθθ(sinθθ)+1sin2θ2ϕ2],m=(+1)2,m L^{2}\ket{\ell, m}=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\ket{\ell, m} = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}\ket{\ell, m}

したがって、次が得られる。

[1sinθθ(sinθθ)+1sin2θ2ϕ2],m=(+1),m \begin{align*} && \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\ket{\ell, m} &= -\ell(\ell + 1)\ket{\ell, m} \\ % \implies&& \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } + \ell(\ell + 1) \right]\ket{\ell, m} &= 0 \end{align*}

しかし、ここで,m=Θ(θ)Φ(ϕ)\ket{\ell, m} = \Theta(\theta)\Phi(\phi)のように変数分離されると仮定すると、球面調和関数が満たす微分方程式と正確に同じだということがわかる。

[1sinθθ(sinθθ)+1sin2θ2ϕ2]Θ(θ)Φ(ϕ)=(+1)Θ(θ)Φ(ϕ)    Φsinθddθ(sinθdΘdθ)+Θsin2θd2Φdϕ2=(+1)ΘΦ    1Θsinθddθ(sinθdΘdθ)+1Φsin2θd2Φdϕ2=(+1) \begin{align*} && \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\Theta(\theta)\Phi(\phi) &= -\ell(\ell + 1)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \\ \implies && \frac{\Phi}{\sin \theta}\frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{\Theta}{\sin ^{2} \theta}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2} } &= -\ell(\ell + 1)\Theta\Phi \\ \implies && \frac{1}{\Theta \sin \theta}\frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi \sin ^{2} \theta}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2} } &= -\ell(\ell + 1) \\ \end{align*}

したがって、角運動量演算子の固有関数 ,m\ket{\ell, m}は実際には球面調和関数 YlmY_{l}^{m}と同じだ。