関連ルジャンドル多項式の直交性
定理
区間$[-1,1]$で固定された$m$に対する関連ルジャンドル多項式は、直交集合を形成する。
$$ \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$
$$ \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$
関連ルジャンドル多項式 $$ P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l $$
証明
便宜上、簡単に$P_{lm} = P_{l}^{m}(x)$と表記しよう。関連ルジャンドル微分方程式は以下の通り。
$$ \begin{equation} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{lm} = 0 \end{equation} $$
場合 1: $l \ne k$
証明方法は、ルジャンドル多項式の直交性を示すのと同じだ。$(1)$を$l$と$k$に対して書くと、
$$ \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{lm}^{\prime}\right] + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{lm} = 0 \\ \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{km}^{\prime}\right] + \left[k(k+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{km} = 0 $$
（$l$に対する式）に$P_{km}$を掛け、（$k$に対する式）に$P_{lm}$を掛けて互いに引くと、以下のようになる。
$$ \begin{equation} P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km} = 0 \end{equation} $$
ここで第一項、第二項を次のように整理できる。
$$ \begin{align*} &\quad \ P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right] \\ &= P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}-P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} \\ &= {\color{blue}P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}}-{\color{orange}P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} } \\ &\quad + {\color{blue}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}}-{\color{orange}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}} \\ &= \frac{d}{dx}\left[{\color{blue}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}P_{km}}-{\color{orange}(1-x^{2})P_{lm}P_{km}^{\prime} } \right] \\ &= \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right] \end{align*} $$
これを$(2)$に代入すると、
$$ \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km}=0 $$
両辺を区間$[-1,1]$で積分すると、以下を得る。
$$ \left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]_{-1}^{1}+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$
最初の項は$0$なので、以下の通り。
$$ \left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$
この時、$l \ne k$なので$l(l+1)-k(k+1)\ne 0$となる。したがって、以下の通り。
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0 $$
■
場合 2: $l=k$
次が成り立つ。
$$ \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \tag {3} $$
上記の公式を関連ルジャンドル多項式に適用すると、
$$ \begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l \\ &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}}\dfrac{1}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^{2})^{-\frac{m}{2}}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$
上記の式の両辺を二乗すると、以下を得る。
$$ [P_{l}^{m}(x)]^{2} =\dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} $$
上記の式に$(3)$を代入すると、
$$ \begin{align*} &\quad \ [P_{l}^{m}(x)]^{2} \\ &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \right]\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$
今、両辺を区間$[-1,1]$で積分すると以下のようになる。
$$ \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \tag{4} \end{align*} $$
右辺の積分部分だけを見る。部分積分で解くと、次のようになる。
$$ \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{\prime}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx \\ &= \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$
ここで第一項は$0$である。$(x^{2}-1)^{l}$は$2l$次の多項式であり、$|m| \lt l$なので$l+m-1$と$l-m$は$l$より小さく、少なくとも$(x^{2}-1)$が微分されずに残るからだ。ここに$\pm 1$を代入すると$0$になる。残りの項を再び部分積分で解いてみると、
$$ \begin{align*} &\quad \ -\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \\ &= \left[- \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l} \right]+\int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+2}}{ dx^{l-m+2} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$
ここで最初の項は上記の理由で$0$である。このような部分積分を$m$回繰り返すと、以下の式を得る。
$$ \int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx=(-1)^{m}\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}dx $$
したがって、$(4)$は以下の通り。
$$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ \frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{2}dx $$
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
それにより、ロドリゲスの公式により、以下が導かれる。
$$ \begin{align*} \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}2^{2l}(l!)^{2}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \\ &= \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \end{align*} $$
最後に、ルジャンドル多項式の直交性により、最終的に以下が得られる。
$$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$
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