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関連ルジャンドル多項式の直交性 📂関数

関連ルジャンドル多項式の直交性

定理

区間[−1,1][-1,1]で固定されたmmに対する関連ルジャンドル多項式は、直交集合を形成する。

∫−11Plm(x)Pkm(x)dx=22l+1(l+m)!(l−m)!δlk \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}

x=cos⁡θx=\cos \thetaの場合、

∫0πPlm(cos⁡θ)Pkm(cos⁡θ)sin⁡θdθ=22l+1(l+m)!(l−m)!δlk \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}

関連ルジャンドル多項式 Plm(x)=(1−x2)m212ll!dl+mdxl+m(x2−1)l P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l

証明

便宜上、簡単にPlm=Plm(x)P_{lm} = P_{l}^{m}(x)と表記しよう。関連ルジャンドル微分方程式は以下の通り。

ddx[(1−x2)Plm′]+[l(l+1)−m21−x2]Plm=0 \begin{equation} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{lm} = 0 \end{equation}

場合 1: l≠kl \ne k

証明方法は、ルジャンドル多項式の直交性を示すのと同じだ。(1)(1)をllとkkに対して書くと、

ddx[(1−x2)Plm′]+[l(l+1)−m21−x2]Plm=0ddx[(1−x2)Pkm′]+[k(k+1)−m21−x2]Pkm=0 \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{lm}^{\prime}\right] + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{lm} = 0 \\ \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{km}^{\prime}\right] + \left[k(k+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{km} = 0

（llに対する式）にPkmP_{km}を掛け、（kkに対する式）にPlmP_{lm}を掛けて互いに引くと、以下のようになる。

Pkmddx[(1−x2)Plm′]−Plmddx[(1−x2)Pkm′]+[l(l+1)−k(k+1)]PlmPkm=0 \begin{equation} P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km} = 0 \end{equation}

ここで第一項、第二項を次のように整理できる。

 Pkmddx[(1−x2)Plm′]−Plmddx[(1−x2)Pkm′]=Pkm(1−x2)′Plm′+Pkm(1−x2)Plm′′−Plm(1−x2)′Pkm′−Plm(1−x2)Pkm′′=Pkm(1−x2)′Plm′+Pkm(1−x2)Plm′′−Plm(1−x2)′Pkm′−Plm(1−x2)Pkm′′+Pkm′(1−x2)Plm′−Pkm′(1−x2)Plm′=ddx[(1−x2)Plm′Pkm−(1−x2)PlmPkm′]=ddx[(1−x2)(Plm′Pkm−PlmPkm′)] \begin{align*} &\quad \ P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right] \\ &= P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}-P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} \\ &= {\color{blue}P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}}-{\color{orange}P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} } \\ &\quad + {\color{blue}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}}-{\color{orange}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}} \\ &= \frac{d}{dx}\left[{\color{blue}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}P_{km}}-{\color{orange}(1-x^{2})P_{lm}P_{km}^{\prime} } \right] \\ &= \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right] \end{align*}

これを(2)(2)に代入すると、

ddx[(1−x2)(Plm′Pkm−PlmPkm′)]+[l(l+1)−k(k+1)]PlmPkm=0 \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km}=0

両辺を区間[−1,1][-1,1]で積分すると、以下を得る。

[(1−x2)(Plm′Pkm−PlmPkm′)]−11+[l(l+1)−k(k+1)]∫−11PlmPkmdx=0 \left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]_{-1}^{1}+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0

最初の項は00なので、以下の通り。

[l(l+1)−k(k+1)]∫−11PlmPkmdx=0 \left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0

この時、l≠kl \ne kなのでl(l+1)−k(k+1)≠0l(l+1)-k(k+1)\ne 0となる。したがって、以下の通り。

∫−11Plm(x)Pkm(x)dx=0 \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0

■

場合 2: l=kl=k

補助定理

次が成り立つ。

dl+mdxl+m(x2−1)l=(l+m)!(l−m)!(x2−1)−mdl−mdxl−m(x2−1)l(3) \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \tag {3}

上記の公式を関連ルジャンドル多項式に適用すると、

Plm(x)=(1−x2)m212ll!dl+mdxl+m(x2−1)l=(1−x2)m212ll!(l+m)!(l−m)!(x2−1)−mdl−mdxl−m(x2−1)l=(−1)m2ll!(l+m)!(l−m)!(1−x2)−m2dl−mdxl−m(x2−1)l \begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l \\ &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}}\dfrac{1}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^{2})^{-\frac{m}{2}}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*}

上記の式の両辺を二乗すると、以下を得る。

[Plm(x)]2=122l(l!)2[(l+m)!(l−m)!]2(1−x2)−mdl−mdxl−m(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)l [P_{l}^{m}(x)]^{2} =\dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}

上記の式に(3)(3)を代入すると、

 [Plm(x)]2=122l(l!)2[(l+m)!(l−m)!]2(1−x2)−m[(l−m)!(l+m)!(x2−1)mdl+mdxl+m(x2−1)l]dl−mdxl−m(x2−1)l=(−1)m22l(l!)2(l+m)!(l−m)!dl+mdxl+m(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)l \begin{align*} &\quad \ [P_{l}^{m}(x)]^{2} \\ &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \right]\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*}

今、両辺を区間[−1,1][-1,1]で積分すると以下のようになる。

 ∫−11[Plm(x)]2dx=(−1)m22l(l!)2(l+m)!(l−m)!∫−11[dl+mdxl+m(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)l]dx \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \tag{4} \end{align*}

右辺の積分部分だけを見る。部分積分で解くと、次のようになる。

 ∫−11[dl+mdxl+m(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)l]dx=∫−11[dl+m−1dxl+m−1(x2−1)l]′dl−mdxl−m(x2−1)ldx=[dl+m−1dxl+m−1(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)l]−11−∫−11dl+m−1dxl+m−1(x2−1)ldl−m+1dxl−m+1(x2−1)ldx \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{\prime}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx \\ &= \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*}

ここで第一項は00である。(x2−1)l(x^{2}-1)^{l}は2l2l次の多項式であり、∣m∣<l|m| \lt lなのでl+m−1l+m-1とl−ml-mはllより小さく、少なくとも(x2−1)(x^{2}-1)が微分されずに残るからだ。ここに±1\pm 1を代入すると00になる。残りの項を再び部分積分で解いてみると、

 −∫−11dl+m−1dxl+m−1(x2−1)ldl−m+1dxl−m+1(x2−1)ldx=[−dl+m−2dxl+m−2(x2−1)ldl−m+1dxl−m+1(x2−1)l]+∫−11dl+m−2dxl+m−2(x2−1)ldl−m+2dxl−m+2(x2−1)ldx \begin{align*} &\quad \ -\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \\ &= \left[- \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l} \right]+\int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+2}}{ dx^{l-m+2} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*}

ここで最初の項は上記の理由で00である。このような部分積分をmm回繰り返すと、以下の式を得る。

∫−11dl+mdxl+m(x2−1)ldl−mdxl−m(x2−1)ldx=(−1)m∫−11dldxl(x2−1)ldldxl(x2−1)ldx \int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx=(-1)^{m}\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}dx

したがって、(4)(4)は以下の通り。

∫−11[Plm(x)]2dx=122l(l!)2(l+m)!(l−m)!∫−11[dldxl(x2−1)l]2dx \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ \frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{2}dx

ロドリゲスの公式

Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)l P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l

それにより、ロドリゲスの公式により、以下が導かれる。

∫−11[Plm(x)]2dx=122l(l!)2(l+m)!(l−m)!22l(l!)2∫−11[Pl(x)]2dx=(l+m)!(l−m)!∫−11[Pl(x)]2dx \begin{align*} \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}2^{2l}(l!)^{2}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \\ &= \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \end{align*}

最後に、ルジャンドル多項式の直交性により、最終的に以下が得られる。

∫−11[Plm(x)]2dx=22l+1(l+m)!(l−m)! \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}

■