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ルジャンドル多項式の生成関数 📂関数

ルジャンドル多項式の生成関数

定理

ルジャンドル多項式の生成関数は次の通りだ。

Φ(x,t)=11−2xt+t2=∑l=0∞Pl(x)tl,∣t∣<1 \Phi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}} = \sum \limits_{l=0}^{\infty}P_{l}(x)t^{l},\quad |t|<1

説明

簡単に言えば、ルジャンドル多項式の生成関数はルジャンドル多項式Pl(x)P_{l}(x)を係数として持つ多項式だよ。

補助定理

関数Φ(x,t)=11−2xt+t2\Phi (x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}は下の微分方程式の解だ。

(1−x2)∂2Φ∂x2−2x∂Φ∂x+t∂2∂t2(tΦ)=0 \begin{equation} (1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi) = 0 \end{equation}

証明

単に微分して足すだけで簡単に示せるので、詳細な計算過程と説明は省略する。

∂Φ∂x=t(1−2xt+t2)−32 \frac{ \partial \Phi}{ \partial x }=t(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}}

∂2Φ∂x2=3t2(1−2xt+t2)−52 \frac{ \partial ^{2}\Phi}{ \partial x^{2} }=3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}}

∂∂t(tΦ)=(1−2xt+t2)−12−(t2−xt)(1−2xt+t2)−32 \frac{ \partial }{ \partial t }(t\Phi)=(1-2xt+t^{2})^{-\frac{1}{2}}-(t^{2}-xt)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}}

∂2∂t2(tΦ)=−(3t−2x)(1−2xt+t2)−32+3(t3−2xt2+x2t)(1−2xt+t2)−52 \frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi)=-(3t-2x)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{3}-2xt^{2}+x^{2}t)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}}

だから、

(1−x2)∂2Φ∂x2−2x∂Φ∂x+t∂2∂t2(tΦ)=3(t2−x2t2)(1−2xt+t2)−52−2xt(1−2xt+t2)−32−(3t2−2xt2)(1−2xt+t2)−32+3(t4−2xt3+x2t2)(1−2xt+t2)−52=−3t2(1−2xt+t2)−32+3t2(1−2xt+t2)(1−2xt+t2)−52=−3t2(1−2xt+t2)−32+3t2(1−2xt+t2)−32=0 \begin{align*} &(1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi) \\ &= 3(t^{2}-x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}}-2xt(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} \\ & -(3t^{2}-2xt^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{4}-2xt^{3}+x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ &= -3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ &= -3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}} \\ &= 0 \end{align*}

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証明

Φ(x,t)=11−2xt+t2\Phi(x, t) = \dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}がルジャンドル多項式の生成関数であることを示すためには、生成関数の定義によりΦ(x,t)\Phi(x, t)をttに関して多項式として表した時に係数がルジャンドル多項式であることを確認すればいい。まずy≡2xt−t2y \equiv 2xt - t^{2}で置換すると、

Φ(y)=11−y=(1−y)−12. \begin{align*} \Phi(y) &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - y}} \\ &= (1-y)^{-\frac{1}{2}}. \end{align*}

負の二項級数

(1−x)−α=1+αx+α(α+1)2!x2+α(α+1)(α+2)3!x3+⋯ (1 - x)^{-\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha+1)}{2!} x^{2} + \dfrac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{3!} x^{3} + \cdots

すると、負の二項級数の公式により以下の通りだ。

Φ(y)=(1−y)−12=1+12y+12⋅322!y2+⋯=1+12(2xt−t2)+38(2xt−t2)2+⋯=1+xt−12t2+38(4x2t2−4xt3+t4)+⋯=1+xt+(32x2−12)t2+⋯=f0(x)+f1(x)t+f2(x)t2+⋯=∑l=0∞fl(x)tl \begin{align*} \Phi(y) &= (1-y)^{-\frac{1}{2}} \\ &= 1 + \frac{1}{2}y + \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}{2!}y^{2} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2}(2xt-t^{2}) + \frac{3}{8}(2xt-t^{2})^{2} + \cdots \\ &= 1 + xt -\frac{1}{2}t^{2} + \frac{3}{8}(4x^{2}t^{2} - 4xt^{3} + t^{4}) + \cdots \\ &= 1 + xt + \left(\frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\right)t^{2} + \cdots \\ &= f_{0}(x) + f_{1}(x)t + f_{2}(x)t^{2} + \cdots \\ &= \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l} \end{align*}

次に、上の級数を微分方程式(1)(1)に代入してみると以下を得る。

 0=(1−x2)∂2(∑l=0∞fl(x)tl)∂x2−2x∂(∑l=0∞fl(x)tl)∂x+t∂2∂t2(t∑l=0∞fl(x)tl)=(1−x2)∑l=0∞fl′′(x)tl−2x∑l=0∞fl′(x)tl+∑l=0∞l(l+1)fl(x)tl=∑l=0∞[(1−x2)fl′′(x)−2xfl′(x)+l(l+1)fl(x)]tl \begin{align*} &\quad \ 0 \\ &= (1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right)}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \left( \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right)}{ \partial x } + t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }\left( t \sum\limits_{l=0}^{\infty} f_{l}(x) t^{l}\right) \\ &= (1-x^{2}) \sum\limits_{l=0}^{\infty} f^{\prime \prime}_{l}(x) t^{l} - 2x \sum\limits_{l=0}^{\infty} f^{\prime}_{l}(x) t^{l} + \sum\limits_{l=0}^{\infty}l(l+1) f_{l}(x) t^{l} \\ &= \sum\limits_{l=0}^{\infty} \left[ (1 - x^{2}) f_{l}^{\prime \prime}(x) - 2x f_{l}^{\prime}(x) + l(l+1)f_{l}(x) \right] t^{l} \end{align*}

この式はttにおける恒等式なので、各tlt^{l}の係数は全て00でなければならない。従って、次を得る。

(1−x2)fl′′(x)−2xfl′(x)+l(l+1)fl(x)=0 (1 - x^{2}) f_{l}^{\prime \prime}(x) - 2x f_{l}^{\prime}(x) + l(l+1)f_{l}(x) = 0

これはルジャンドル微分方程式で、解はルジャンドル多項式だ。だからfl(x)=Pl(x)f_{l}(x) = P_{l}(x)はΦ\Phiはルジャンドル多項式の生成関数だ。

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