📂微分方程式

関連するルジャンドル微分方程式と多項式

定義¹

下の微分方程式を、関連ルジャンドル微分方程式という。

$$\begin{equation} \begin{aligned} &&(1-x^{2})\frac{ d^{2}y }{ dx^{2} }-2x \frac{dy}{dx}+\left[ +l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y =&\ 0 \\ \mathrm{or} && \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})y^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y =&\ 0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}$$

関連ルジャンドル微分方程式の解を$P_{l}^{m}(x)$として表記し、これを関連ルジャンドル多項式や一般化されたルジャンドル多項式という。

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^2-1)^{l}\right] \end{align*}$$

ここで、$P_{l}(x)$はルジャンドル多項式だ。 $m$の符号によって区分される場合、

$$P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^{l}$$

$$P_{l}^{-m}=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x)$$

関連ルジャンドル多項式は、球座標系のラプラス方程式を解く際に出現する。ここで、定数$l$、$m$は、量子力学で量子数と関連している。

解

$m=0$の場合は、ルジャンドル微分方程式だ。この場合の解を基に、$m\ne 0$の場合の解も見つけることができる。まず、関連ルジャンドル微分方程式の解は定数$l$、$m$によって決まるので、以下のように表記しよう。

$$y=P_{l}^{m}(x)$$

これを$\eqref{1}$に代入して整理すると以下のようになる。

$$\begin{equation} \frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right]+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{l}^{m}(x)=0 \label{2} \end{equation}$$

そして、解が以下の形であると仮定しよう。

$$P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)$$

$x$を一度微分すると

$$\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ d x }=-|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x)+(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x)$$

これを$\eqref{2}$の最初の項に代入して整理すると以下のようになる。

$$\begin{align*} \frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right] =&\ \frac{ d }{ dx }\left[ -|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)+(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime}(x) \right] \\ =&\ -|m|(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)+|m|^{2}x^{2}(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x) \\ & -|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x)-(|m|+2)x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x) \\ & +(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime \prime}(x) \\ =&\ (1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x) \\ & -[|m|(|m|+1)x^{2}-|m|] (1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x) \end{align*}$$

両辺に$\dfrac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}$を掛けると次のようになる。

$$\begin{align*} &\frac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}\frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right] \\ =&\ (1-x^{2})u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)xu^{\prime}(x) -[|m|(|m|+1)x^{2}-|m|] (1-x^{2})^{-1}u(x) \end{align*}$$

したがって、$\eqref{2}$の両辺に$\dfrac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}$を掛けると

$$\begin{equation} \begin{aligned} &(1-x^{2})u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)xu^{\prime}(x) \\ &-\left( \frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|}{1-x^{2}}+l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)u(x)=0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}$$

$u(x)$の係数を整理すると以下のようになる。

$$\begin{align*} &\frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|}{1-x^{2}}+l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \\ =&\ \frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|+l(l+1)(1-x^{2})-m^{2}}{1-x^{2}} \\ =&\ \frac{-m^{2}(1-x^{2})-|m|(1-x^{2})+l(l+1)(1-x^{2})}{1-x^{2}} \\ =&\ l(l+1)-m^{2}-|m| \\ =&\ l(l+1)-|m|(|m|+1) \end{align*}$$

従って、$\eqref{3}$は以下のような形で整理される。

$$\begin{equation} (1-x^{2})\frac{ d^{2} u }{ d x^{2} }-2(|m|+1)x\frac{ d u}{ dx }+[l(l+1)-|m|(|m|+1)]u=0 \label{4} \end{equation}$$

$m=0$であれば、実際にルジャンドル微分方程式になる。従って、$|m|=0$の場合の解は$P_{l}^{0}(x)=P_{l}(x)$である。今一度、$(4)$を$x$に関して微分してみよう。係数を整理すると以下の式を得る。

$$\begin{equation} (1-x^{2}) \frac{ d^{3} u }{ d x^{3} } -2[(|m|+1)+1]x\frac{ d^{2} u}{ dx^{2} }+[l(l+1)-(|m|+1)(|m|+2)]\frac{ d u}{ d x}=0 \label{5} \end{equation}$$

再び、$\eqref{5}$を$x$に関して微分して係数を整理すると以下の式を得る。

$$\begin{equation} (1-x^{2}) \frac{ d^{4} u }{ d x^{4} } -2[(|m|+2)+1]x\frac{ d^{3} u}{ dx^{3} }+[l(l+1)-(|m|+2)(|m|+3)]\frac{ d^{2} u}{ d x^{2}}=0 \label{6} \end{equation}$$

これらの式をよく見ると、$\eqref{4}$を$u$に、$|m|$を$|m|+1$に置き換えたときに$\eqref{5}$を得ることができることがわかる。$\eqref{5}$で同様の方法で置換すると、$\eqref{6}$を得る。これにより、$|m|=0$の場合の解は$P_{l}(x)$、$|m|=1$の場合の解は$\dfrac{ d }{ d x }P_{l}(x)$、$|m|=2$の場合の解は$\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}P_{l}(x)$であることがわかる。したがって、これを一般化すると次のようになる。

$$u(x)=\frac{d^{|m|}}{dx^{{|m|}}}P_{l}(x)$$

したがって、関連ルジャンドル多項式は以下のようになる。

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^2-1)^{l}\right] \end{align*}$$

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