カイ二乗分布の平均と分散
公式
$X \sim \chi^{2} (r)$ だったら $$ E(X) = r \\ \operatorname{Var} (X) = 2r $$
導出
戦略: 幸いにも、カイ二乗分布の積率生成関数は知られている。
カイ二乗分布の積率: $X \sim \chi^{2} (r)$ としよう。$k > - r/ 2$ の場合、 $k$次の積率が存在して $$ E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }} $$
平均
$$ EX^{1} = {{ 2^{1} \Gamma (r/2 + 1) } \over { \Gamma (r/2) }} = 2 \cdot {{ r } \over { 2 }} = r $$
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分散
$$ EX^{2} = {{ 2^{2} \Gamma (r/2 + 2) } \over { \Gamma (r/2) }} = 4 \cdot {{ r + 2 } \over { 2 }} \cdot {{ r } \over { 2 }} = r^{2} + 2r $$ したがって、 $$ \operatorname{Var}(X) = \left( r^{2} + 2r \right) - r^{2} = 2r $$
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