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カイ二乗分布の平均と分散 📂確率分布論

カイ二乗分布の平均と分散

公式

Xχ2(r)X \sim \chi^{2} (r) だったら E(X)=rVar(X)=2r E(X) = r \\ \Var (X) = 2r

導出

戦略: 幸いにも、カイ二乗分布の積率生成関数は知られている。

カイ二乗分布の積率: Xχ2(r)X \sim \chi^{2} (r) としよう。k>r/2k > - r/ 2 の場合、 kk次の積率が存在して EXk=2kΓ(r/2+k)Γ(r/2) E X^{k} = {{ 2^{k} \Gamma (r/2 + k) } \over { \Gamma (r/2) }}

平均

EX1=21Γ(r/2+1)Γ(r/2)=2r2=r EX^{1} = {{ 2^{1} \Gamma (r/2 + 1) } \over { \Gamma (r/2) }} = 2 \cdot {{ r } \over { 2 }} = r

分散

EX2=22Γ(r/2+2)Γ(r/2)=4r+22r2=r2+2r EX^{2} = {{ 2^{2} \Gamma (r/2 + 2) } \over { \Gamma (r/2) }} = 4 \cdot {{ r + 2 } \over { 2 }} \cdot {{ r } \over { 2 }} = r^{2} + 2r したがって、 Var(X)=(r2+2r)r2=2r \Var(X) = \left( r^{2} + 2r \right) - r^{2} = 2r