カイ二乗分布の平均と分散
📂確率分布論カイ二乗分布の平均と分散
公式
X∼χ2(r) だったら
E(X)=rVar(X)=2r
導出
戦略: 幸いにも、カイ二乗分布の積率生成関数は知られている。
カイ二乗分布の積率: X∼χ2(r) としよう。k>−r/2 の場合、 k次の積率が存在して
EXk=Γ(r/2)2kΓ(r/2+k)
平均
EX1=Γ(r/2)21Γ(r/2+1)=2⋅2r=r
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分散
EX2=Γ(r/2)22Γ(r/2+2)=4⋅2r+2⋅2r=r2+2r
したがって、
Var(X)=(r2+2r)−r2=2r
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