logo

ヒルベルト空間における密な部分空間を持つベッセル列 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間における密な部分空間を持つベッセル列

定理1

ヒルベルト空間 HHが与えられたとき、{vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset HとV‾=H\overline{V} = HであるV⊂HV \subset Hが次を満たすとする。

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,v∈V \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \mathbf{v} \in V

すると、{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}はベッセル境界BBのベッセル列である。

説明

もともとベッセル列は、すべてのv∈H\mathbf{v} \in Hで不等式を満たさなければならなかったが、V‾=H\overline{V} = Hにより、そのような条件が緩和され、v∈V\mathbf{v} \in Vでのみ満たせば十分になった。特にHHがポーランド空間であれば、自然に条件を満たす。

証明

v∈H\mathbf{v} \in Hとすると、HHが可分空間であるため、wl→v\mathbf{w}_{l} \to \mathbf{v}を満たす{wl}l∈N⊂V\left\{ \mathbf{w}_{l} \right\}_{l \in \mathbb{N}} \subset Vが存在する。各l∈Nl \in \mathbb{N}とすべてのn∈Nn \in \mathbb{N}について

∑k=1n∣⟨wl,vk⟩∣2≤B∥wl∥2 \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{w}_{l} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{w}_{l} \right\|^{2}

すると、l→∞l \to \inftyを取れば

∑k=1n∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2 \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

これはすべてのn∈Nn \in \mathbb{N}に対して成り立つため、n→∞n \to \inftyを取れば

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

■

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p789 ↩︎