動く点電荷が作る磁場
📂電磁気学動く点電荷が作る磁場
概要

動く点電荷が作る電磁場は次の通りだ。
E(r,t)B(r,t)=4πϵ0q(
⋅u)3
[(c2−v2)u+
×(u×a)]=c1
×E(r,t)
説明
磁場の式は具体的には次の通りだ。
B=−c14πϵ01(u⋅
)3q
×[(c2−v2)v+(
⋅a)v+(
⋅u)a]
磁場に関する導出過程を紹介する。
導出
リエナール-ヴィーヘルト電位は動く点電荷が作る電位を示している。
V(r,t)=4πϵ01(
c−
⋅v)qc,A(r,t)=c2vV(r,t)
磁場は次のように計算される。
B=∇×A
したがって、
∇×A=∇×(c2vV(r,t))=c21(∇×Vv)=c21(V(∇×v)−v×(∇V))
三番目の等号はコルの掛け算ルール ∇×(fA)=f(∇×A)−A×(∇f)によって成立する。最後の二つの∇×vの結果は動く点電荷が作る電場で既に計算した。
∇×v=−a×∇tr=
c−
⋅va×
したがって、
V(∇×v)=4πϵ01(
c−
⋅v)qc
c−
⋅va×
=4πϵ01(
c−
⋅v)2qc(a×
)
ここでu=c
−vとすると
c−
⋅v=u⋅
であり、最後に計算しやすい形に事前に変えておくと
V(∇×v)=4πϵ01(u⋅
)3qc(u⋅
)(a×
)
∇Vも同じ文書で計算した。
∇V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c−
⋅v)v−(c2−v2+
⋅a)
]
同じベクトル同士の外積は0であるから、
v×∇V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31v×[−(c2−v2+
⋅a)
]=4πϵ0qc(u⋅
)31[−(c2−v2)v×
−(
⋅a)v×
]
(2)、(3)を(1)に代入すると
B=∇×A=c214πϵ01(u⋅
)3qc[(u⋅
)(a×
)+(c2−v2)v×
+(
⋅a)v×
]=−c14πϵ01(u⋅
)3q
×[(c2−v2)v+(
⋅a)v+(
⋅u)a]
この結果は動く点電荷が作る電場の形とかなり似ている。
E(r,t)=4πϵ0q(
⋅u)3
[(c2−v2)u+u(
⋅a)−a(
⋅u)]
uの代わりにvが入る程度の違いしかない。実際に
×u=
×(c
−v)=−
×vが成立するので、以下を得る。
c1
×E(r,t)=c14πϵ01(
⋅u)3q
×[(c2−v2)u+u(
⋅a)−a(
⋅u)]=c14πϵ01(
⋅u)3q
×[(c2−v2)(−v)−v(
⋅a)−a(
⋅u)]=−c14πϵ01(
⋅u)3q
×[(c2−v2)v+v(
⋅a)+a(
⋅u)]=B(r,t)
つまり、点電荷が作る磁場は電場と遅延位置までのベクトルと直交する。
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