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ヒルベルト空間からL2空間への随伴作用素 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間からL2空間への随伴作用素

定理1

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}がヒルベルト空間HHで定義された数列としよう。次のように定義された有界線形作用素T:ℓ2→HT : \ell^{2} \to Hがあるとしよう。

T{ck}k∈N:=∑k=1∞ckvk T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}

すると、TTの随伴作用素T∗:H→ℓ2T^{ \ast } : H \to \ell^{2}は次のように表される。

T∗v={⟨v,vk⟩H}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

さらに、全てのv∈H\mathbf{v} \in Hに対して、

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩H∣2≤∥T∥2∥v∥H2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

そして同様に、全てのv∈H\mathbf{v} \in Hに対して、

TT∗v=∑k∈N⟨v,vk⟩Hvk,v∈H TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H

説明

ℓ2\ell^{2}空間は、内積が存在するという点でlpl^{p}空間の中でも重要な意味を持つ空間であり、p=2p=2のただの一例ではなく、汎関数を扱うバナッハ空間で特に重要なケースとなる。特に可分なヒルベルト空間と等距離同型であるため、非常に重要である。

証明

TTの定義から、

⟨v,T{ck}k∈N⟩H=⟨v,∑k=1∞ckvk⟩H=∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H}

T∗:H→ℓ2T^{ \ast } : H \to \ell^{2}はv∈H\mathbf{v} \in Hの要素をある数列(T∗v)k∈ℓ2\left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \in \ell^{2}にマッピングするので、次のように表現される。

T∗v={(T∗v)k}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

作用素が線形で有界であるので、

∥T∗v∥2=(∑k=1∞∣(T∗v)k∣2)1/2≤∥T∗∥∥v∥H \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{2} = \left( \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}

これは全てのk∈Nk \in \mathbb{N}に対して次を意味する。

∥(T∗v)k∥2≤∥T∗∥∥v∥H \left\| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\|_{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}

つまり、マッピングv↦(T∗v)k\mathbf{v} \mapsto \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k}は全てのk∈Nk \in \mathbb{N}に対してバウンドされる。

リース表現定理

HHがヒルベルト空間であるとする。HHの線形汎関数f∈H∗f \in H^{ \ast }とx∈H\mathbf{x} \in Hに対してf(x)=⟨x,w⟩f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangleと∥f∥H∗=∥w∥H\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H}を満たすw∈H\mathbf{w} \in Hが一意に存在する。

(T∗v)k=⟨v,wk⟩H \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H}

それにより、リース表現定理に従って次を満たすwk∈H\mathbf{w}_{k} \in Hが存在しなければならない。これはT∗vT^{ \ast } \mathbf{v}がある{wk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{w}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset Hに対して次のように表されることを意味する。

T∗v={⟨v,wk⟩H}k∈N T^{ \ast }\mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

それによりT∗T^{ \ast }の定義に従って、

∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H=⟨v,T{ck}k∈N⟩H=⟨T∗v,{ck}k∈N⟩ℓ2=⟨{⟨v,wk⟩H}k∈N,{ck}k∈N⟩ℓ2=∑k=1∞ck‾⟨v,wk⟩H \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} =& \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} \\ =& \left\langle T^{ \ast } \mathbf{v} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \left\langle \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \end{align*}

結論として、

∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H=∑k=1∞ck‾⟨v,wk⟩H \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H}

従って、

T∗v={⟨v,wk⟩H}k∈N={⟨v,vk⟩H}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

すると、随伴作用素の性質から、∣T∣=∥T∗∥| T | = \left\| T^{ \ast } \right\|でありT∗T^{ \ast }が有界であるので、

∥T∗v∥ℓ22≤∥T∗∥2∥v∥H2≤∥T∥2∥v∥H2 \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{\ell^{2}}^{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} \le \left\| T \right\|^{2}\left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

級数形で書き換えると、

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩H∣2≤∥T∥2∥v∥H2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

最後に、T{ck}k∈N:=∑k=1∞ckvkT \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}とT∗v={⟨v,vk⟩H}k∈NT^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}から、

TT∗v=∑k∈N⟨v,vk⟩Hvk,v∈H TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p75-76 ↩︎