📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間からL2空間への随伴作用素

定理¹

$\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}$がヒルベルト空間$H$で定義された数列としよう。次のように定義された有界線形作用素$T : \ell^{2} \to H$があるとしよう。

$$ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

すると、$T$の随伴作用素$T^{ \ast } : H \to \ell^{2}$は次のように表される。

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

さらに、全ての$\mathbf{v} \in H$に対して、

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

そして同様に、全ての$\mathbf{v} \in H$に対して、

$$ TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H $$

説明

$\ell^{2}$空間は、内積が存在するという点で$l^{p}$空間の中でも重要な意味を持つ空間であり、$p=2$のただの一例ではなく、汎関数を扱うバナッハ空間で特に重要なケースとなる。特に可分なヒルベルト空間と等距離同型であるため、非常に重要である。

証明

$T$の定義から、

$$ \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} $$

$T^{ \ast } : H \to \ell^{2}$は$\mathbf{v} \in H$の要素をある数列$\left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \in \ell^{2}$にマッピングするので、次のように表現される。

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

作用素が線形で有界であるので、

$$ \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{2} = \left( \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H} $$

これは全ての$k \in \mathbb{N}$に対して次を意味する。

$$ \left\| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\|_{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H} $$

つまり、マッピング$\mathbf{v} \mapsto \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k}$は全ての$k \in \mathbb{N}$に対してバウンドされる。

リース表現定理

$H$がヒルベルト空間であるとする。$H$の線形汎関数$f \in H^{ \ast }$と$\mathbf{x} \in H$に対して$f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$と$\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H}$を満たす$\mathbf{w} \in H$が一意に存在する。

$$ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} $$

それにより、リース表現定理に従って次を満たす$\mathbf{w}_{k} \in H$が存在しなければならない。これは$T^{ \ast } \mathbf{v}$がある$\left\{ \mathbf{w}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$に対して次のように表されることを意味する。

$$ T^{ \ast }\mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

それにより$T^{ \ast }$の定義に従って、

$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} =& \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} \\ =& \left\langle T^{ \ast } \mathbf{v} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \left\langle \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \end{align*} $$

結論として、

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} $$

従って、

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

すると、随伴作用素の性質から、$| T | = \left\| T^{ \ast } \right\|$であり$T^{ \ast }$が有界であるので、

$$ \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{\ell^{2}}^{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} \le \left\| T \right\|^{2}\left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

級数形で書き換えると、

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

最後に、$T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}$と$T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$から、

$$ TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H $$

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