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ヒルベルト空間における直交射影 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間における直交射影

定義1

ヒルベルト空間 HH の閉じた部分空間 VV が与えられているとする。

v∈H\mathbf{v} \in H が v1∈V\mathbf{v}_{1} \in V と v2∈V⊥\mathbf{v}_{2} \in V^{\perp} に対して v=v1+v2\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} として表されるとき、次を満たす 全射 P:H→VP :H \to V を直交射影と呼ぶ。

Pv=v1 P \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1}

説明

直交射影は以下の性質を持つ。

  • PP は線形で、有界であり、∣P∣=1| P | = 1。
  • PP は自己随伴作用素、つまり P∗=PP^{ \ast } = P。
  • PP は冪等、つまり P2=PP^{2} = P。

ヒルベルト空間への直交射影の拡張は、自然に行列代数での直交射影をカバーし、その定義から少し抽象性が強く感じられるだろう。

定理

ヒルベルト空間 HH の閉じた部分空間 VV の[正規直交基底] {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} が与えられているとする。全てのv∈H\mathbf{v} \in H に対して直交射影 P:H→VP : H \to V は以下のように表せる。

Pv=∑k=1∞⟨v,ek⟩ek P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

証明

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}が VV の基底であるので、Pv∈VP \mathbf{v} \in Vは a1=⋯=0a_{1} = \cdots = 0 ではない {ak}k=1∞⊂C\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C} に対して以下のように表される。

Pv=∑k=1∞akek P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} の直交性により ⟨ei,ei⟩=1\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1 で、i≠ji \ne j に対して ⟨ei,ej⟩=0\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0 であるため、

⟨Pv,Pv⟩=∑k=1∞ak2 \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2}

一方で、Pv=∑k=1∞akekP \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k} から P∗=PP^{ \ast }=P と P2=PP^{2} = P により、

⟨Pv,Pv⟩=⟨v,P∗Pv⟩=⟨v,Pv⟩=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P^{ \ast }P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

つまり、

∑k=1∞ak2=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

要約すれば、

∑k=1∞ak(ak−⟨v,ek⟩)=0 \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0

したがって、全ての k∈Nk \in \mathbb{N} に対して ak=⟨v,ek⟩a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle が成り立たなければならない。

Pv=∑k=1∞⟨v,ek⟩ek,v∈H P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \qquad , \mathbf{v} \in H

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参照

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p74 ↩︎