リエナール-ヴィーヘルトポテンシャルの時間微分
📂電磁気学リエナール-ヴィーヘルトポテンシャルの時間微分
概要

リエナール-ビケールトポテンシャルの時間に対する導関数は以下の通りである。
∂t∂V∂t∂A=4πϵ0qc(
c−
⋅v)21(c2−c2∂tr∂t−v2+
⋅a)∂t∂tr=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c+
⋅v)(
a/c−v)+c
v(c2−v2+
⋅a)]
補題
遅延時間の時間微分は以下の通りである。
∂t∂tr=
c−
⋅v
c=
⋅u
c
この時、u=c
−vである。
証明
遅延時間の定義によると、
c(t−tr)=
従って、両辺を二乗すると、
c2(t−tr)2=
2=
⋅
両辺をtで微分すると、
2c2(t−tr)(1−∂t∂tr)=2∂t∂
⋅
(1)
この時、
=r−w(tr)であるので、
∂t∂
=−∂t∂w=−∂tr∂w∂t∂tr=−v∂t∂tr
である。これを(1)に代入して整理すると、
⟹⟹c
(1−∂t∂tr)c
−c
∂t∂tr∂t∂tr=−
⋅v∂t∂tr=−
⋅v∂t∂tr=c
−
⋅vc
=
⋅uc
■
証明
リエナール-ビケールトポテンシャル
遅延時間 trで速度vで移動する点電荷に対するポテンシャルは、以下の通りである。
V(r,t)A(r,t)=4πϵ01(
c−
⋅v)qc=4πμ0(
c−
⋅v)qcv=c2vV(r,t)
この時、
=r−w(tr)は遅延位置から観測点までのベクトルであり、w(tr)は遅延時間での点電荷の位置、つまり遅延位置である。
スカラーポテンシャル Vをtで微分すると、
∂t∂V=4πϵ0qc∂t∂(
c−
⋅v1)=4πϵ0qc∂tr∂(
c−
⋅v1)∂t∂tr
この時、dxd(f(x)1)=df(x)d(f(x)1)dxdf(x)=(f(x))2−1f′(x)であるので、
∂t∂V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1∂tr∂(
c−
⋅v)∂t∂tr=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1(c∂tr∂
−∂tr∂
⋅v−
⋅∂tr∂v)∂t∂tr
=r−w(tr)であるので、
∂tr∂
=−∂tr∂w(tr)=−v(tr)
∣
∣=
=c(t−tr)であるので、
∂tr∂
=c∂tr∂t−c
従って、
∂t∂V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1(−c2+c2∂tr∂t+v2−
⋅a)∂t∂tr=4πϵ0qc(
c−
⋅v)21(c2−c2∂tr∂t−v2+
⋅a)∂t∂tr
補題と(a)を使ってうまく整理すると、容易に得られる。
∂t∂A=∂t∂(c2vV(r,t))=c21(∂t∂vV+v∂t∂V)=c21[∂tr∂v∂t∂trV+v4πϵ0qc(
c−
⋅v)21(c2−c2∂tr∂t−v2+
⋅a)∂t∂tr]=c21∂t∂tr[a4πϵ0qc
c−
⋅v1+v4πϵ0qc(
c−
⋅v)21(c2−c2∂tr∂t−v2+
⋅a)]=c21∂t∂tr4πϵ0qc(
c−
⋅v)21[a(
c+
⋅v)+v(c2−c2∂tr∂t−v2+
⋅a)]
補題によれば、
∂t∂A=c21
c−
⋅v
c4πϵ0qc(
c−
⋅v)21[a(
c+
⋅v)+v(c2−c2
c
c−
⋅v−v2+
⋅a)]=c
4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[a(
c+
⋅v)+c2v−c2v(
c
c−
⋅v)−v2v+(
⋅a)v]=c
4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c+
⋅v)(a−
cc2v)+v(c2−v2+
⋅a)]=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c+
⋅v)(
a/c−v)+c
v(c2−v2+
⋅a)]
■