📂数理物理学

十分に小さい角度は

説明

物理学では多くの場所で近似式$\sin x\approx x$を使用する。この近似を使用できる理由は下記の式が成立するからだ。

$$\lim \limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

この式は高等学校で初めて学ぶので、大学生なら当然のことと感じる程度だ。だから、近似できるということに疑問を持つ人はほとんどいないだろう。しかし、どの程度まで小さければ似ていると言えるのだろうか？例えば、単振り子の周期を計算する過程でこの近似を使用するけど、その時、「振り子がどの程度振動すればこの近似は合っていると言えるのか？」という疑問が湧くかもしれない。$y=\sin x$、$y=x$の2つの関数のグラフを見よう。

グラフを見ると、$\left| x \right|$が小さくなるほど、2つのグラフがほぼ同じになることが明らかだ。差が出始める時の点を打ってみると、

比率を計算してみれば、$\dfrac{5539}{5871}=0.943450$である。$6$%程度の誤差が出ていることが確認できる。これくらいなら大体似ていると言ってもいいだろう。今度は$y=\dfrac{\sin x}{x}$のグラフを描いてみよう。

$5$%程度の誤差が出る角度は、ラジアンで$0.0536$である。$10$%程度の誤差が出る角度は、ラジアンで$0.7775$である。これを度数法${}^{\circ}$に変換してみると、

かなり広い範囲であることが分かる。十分に小さい角度と言っても、$10^{\circ}$以内だとか$5^{\circ}$以内だとかしているわけではない。誤差をどの程度まで見てくれるかによるが、$30^{\circ}$内では、$\sin x$と$x$の誤差が$5$%より小さいので、$30^{\circ}$より小さい角度を十分に小さいと考えるのが妥当だろう。