グラフの行列表現
定義 1
グラフ $G(V,E)$ が与えられたとしよう。
次数行列
各頂点 $v_{i}\in V$ の次数 $d(v_{i})$を簡単に $d_{i}$と表記しよう。次のような行列を $G$ の次数行列degree matrixと呼び、$D(G)$ または単に $D$と表記する。
$$ D(G) = \mathrm{diag} (d_{1}, \dots, d_{n}) = \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{n} \end{bmatrix} $$
ここで、$\mathrm{diag}$ は対角行列である。
隣接行列
次のような正方行列を $G$ の隣接行列adjacent matrixと呼び、$A(G)$ または単に $A$と表記する。
$$ A = [a_{ij}] = \begin{cases} 1 &, ij \in E(G) \\ 0 &,ij \notin E(G) \end{cases} $$
隣接行列は離散的にも豊富な性質を有し、行列の形を保持しているため、線形代数の様々な理論を適用することができる。特にその固有値は、ネットワークを応用する様々なモデルで頻繁に言及される。
接続行列
次のような行列を $G$ の接続行列incident matrixと呼び、$M(G)$ または単に $M$と表記する。
$$ M = [m_{ij}] = \begin{cases} 1 &, \text{vertex } i \text{ is incident with edge } j \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} $$
有向接続行列
$G$が有向グラフであるとしよう。次のような行列を $G$ の有向接続行列directed incident matrixと呼び、$N(G)$ または単に $N$と表記する。
$$ N = [n_{ij}] = \begin{cases} 1 &, \text{vertex } i \text{ is tail of edge } j \\ -1 &, \text{vertex } i \text{ is head of edge } j \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} $$
例
上記のようなグラフに対して、次のような行列が得られる。
$$ D = \begin{matrix} & v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5} & v_{6} & v_{7} & v_{8} \\ v_{1} & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{3} & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{4} & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ v_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ v_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ v_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$
$$ A = \begin{matrix} & v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5} & v_{6} & v_{7} & v_{8} \\ v_{1} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{2} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{3} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{4} & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ v_{5} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ v_{6} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ v_{7} & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ v_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$
$$ M = \begin{matrix} & e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} & e_{8} & e_{9} & e_{10} \\ v_{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{2} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{3} & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{4} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ v_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ v_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ v_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ v_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$
上記のような有向グラフに対する有向接続行列は、次のようになる。
$$ N = \begin{matrix} & e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} & e_{8} & e_{9} & e_{10} \\ v_{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{2} & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{3} & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v_{4} & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ v_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ v_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ v_{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ v_{8} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$
Wilson. (1970). Introduction to Graph Theory: p14. ↩︎