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基底から生成される位相 📂位相幾何学

基底から生成される位相

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位相

集合XXに対して、以下の三つの条件を満たすXXの部分集合のコレクションT\mathscr{T}集合XX上の位相と言う。

  • (T1)(T1) ,XT\varnothing, X \in \mathscr{T}
  • (T2)(T2) UαT(αΛ)U_{\alpha} \in \mathscr{T} (\alpha \in \Lambda)ならばαΛUαT\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}である。
  • (T3)(T3) U1,,UnTU_{1},\cdots,U_{n} \in \mathscr{T}ならばi=1nUiT\bigcap_{i=1}^{n}U_{i} \in \mathscr{T}である。

簡単に言えば、空集合と全集合を持ち、和集合と可算交差に対して閉じている部分集合のコレクションを位相と言う。

基底

集合XXに対して、以下の二つの条件を満たすXXの部分集合のコレクションB\mathscr{B}を**XX上の位相の基底と言う。線形代数の基底と混同しない場合は、通常単に集合XXの基底**と言う。

  • (B1)(B1) 任意の点xXx\in Xに対して、xBx\in Bを満たすBBB\in \mathscr{B}が存在する。つまりBBB=X\bigcup_{B\in \mathscr{B}}B=Xを満たす。
  • (B2)(B2) 任意のB1,B2BB_{1}, B_2 \in \mathscr{B}と点x(B1B2)x \in (B_{1}\cap B_{2})に対して、xB3(B1B2)x\in B_{3} \subset (B_{1}\cap B_{2})を満たすB3BB_{3} \in \mathscr{B}が存在する。

定義

B\mathscr{B}を集合XXの基底としよう。以下の条件を満たすXXの部分集合UUたちのコレクションTB\mathscr{T}_\mathscr{B}を**B\mathscr{B}が生成するXX上の位相**と言う。 xU, BBs.t. xBU \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U つまり、 TB={UX : xU, BBs.t. xBU} \mathscr{T}_\mathscr{B} =\left\{ U\subset X \ :\ \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U\right\}

定理

  • (0)(0): TB\mathscr{T}_\mathscr{B}XX上の位相である。

B\mathscr{B}を集合XX上の基底としよう。するとTB\mathscr{T}_\mathscr{B}は以下のような性質を持つ。

  • (a1)(a1): TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}B\mathscr{B}の要素たちの和集合のコレクションと同じである。 TB={BBB : BB} \mathscr{T}_{\mathscr{B}}=\left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\}
  • (b1)(b1) TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}B\mathscr{B}を含むXX上の位相の中で最も小さい。

位相空間(X,T)(X, \mathscr{T})が与えられたとしよう。BT\mathscr{B} \subset \mathscr{T}に対して、以下の二つの事実は同値である。

  • (a2)(a2): B\mathscr{B}T\mathscr{T}の基底である。つまり、T=TB\mathscr{T}=\mathscr{T}_{\mathscr{B}}である。
  • (b2)(b2): 任意の開集合UTU \in \mathscr{T}と点xUx \in Uに対して、xBUx \in B \subset Uを満たすBBB\in \mathscr{B}が存在する。

説明

B\mathscr{B}が位相空間(X,T)(X,\mathscr{T})の基底であることは、T=TB\mathscr{T}=\mathscr{T}_\mathscr{B}を意味する。TB\mathscr{T}_\mathscr{B}が実際に集合XX上の位相になることを確認できる。

教科書によっては、(a1)(a1)を基底B\mathscr{B}の定義として紹介することもある。

(a2)(a2)(b2)(b2)は、与えられた位相から基底を見つけることを扱っている。その上で、与えられた基底からどのように位相を生成するかについて論じているが、反対に下では位相が与えられたときに、それを生成する基底をどのように見つけるかについて論じられている。

これを根拠に、ユークリッド空間Rn\mathbb{R}^n上の基底をオープンボールのコレクションとする。

証明

(0)(0)

(T1)(T1)

xx\in \varnothingを満たすxxが存在しないため、TB\varnothing \in \mathscr{T}_\mathscr{B}である。B\mathscr{B}XXの基底であるため、(B1)(B1)により、任意の点xXx\in Xに対して、xBXx \in B \subset Xを満たすBBB \in \mathscr{B}が存在する。したがってXTBX \in \mathscr{T}_\mathscr{B}


(T2)(T2)

UαTB (αΛ)U_\alpha \in \mathscr{T}_\mathscr{B}\ (\alpha \in \Lambda)としよう。任意の点xαΛUαx \in \bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_\alphaに対して、xUα0x \in U_{\alpha_{0}}であるα0Λ\alpha_{0} \in \Lambdaが存在する。Uα0TBU_{\alpha_{0}} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}であるため、TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}の定義により、xBUα0x \in B \subset U_{\alpha_{0}}を満たすBBB \in \mathscr{B}が存在する。したがって xBUα0αΛUα x \in B \subset U_{\alpha_{0}} \subset \bigcup_{\alpha \in \Lambda}U_{\alpha} であるから、αΛUαTB\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}である。(T3)(T3) U,VTBU,V \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}としよう。任意の点xUVx \in U \cap Vに対して、xUx\in UでありxVx \in Vであるため、TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}の定義により xB1U,xB2V x \in B_{1}\subset U,\quad x\in B_{2}\subset V を満たすB1,B2BB_{1}, B_{2}\in \mathscr{B}が存在する。また、xB1B2x\in B_{1}\cap B_2であるため、(B2)(B2)により xB3B1B2UV x \in B_{3} \subset B_{1}\cap B_2 \subset U\cap V を満たすB3BB_{3} \in \mathscr{B}が存在する。したがって、TB\mathscr{T}_\mathscr{B}の定義によりUVTBU \cap V \in \mathscr{T}_\mathscr{B}である。

(a1)(a1)

TB{BBB : BB} \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \supset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} B \mathscr{B}の任意の部分集合BB\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}に対して、U=BBBU=\bigcup_{B\in \mathscr{B}^{\ast}} Bとしよう。すると、任意のxUx \in Uに対して、xBxBx\in B_{x} \in \mathscr{B}^{\ast}が存在する。すると、xBxUx \in B_{x} \subset Uであるため、UTBU \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}である。TB{BBB : BB} \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} UTB U \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}としよう。すると、TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}の定義により、任意のxUx \in Uに対して、xBxUx \in B_{x} \subset Uを満たすBxBB_{x} \in \mathscr{B}が存在する。したがって、UUU=xUBxU=\bigcup_{x\in U}B_{x}のようにB\mathscr{B}の要素たちの和集合として表されるので、U{BBB : BB}U \in \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\}である。

(b1)(b1)

まず、TB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}B\mathscr{B}を含むことを示そう。BBB \in \mathscr{B}としよう。すると、xBx\in Bに対して、xBBx \in B \subset Bを満たすBBB \in \mathscr{B}が存在するため、BTBB \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}である。次に、B\mathscr{B}を含む集合XX上の位相T\mathscr{T}を考える。BB\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}に対して、BBT\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B} \subset \mathscr{T}であれば、位相の定義(T1)(T1)により、BBB\bigcup_{B \in \mathscr{B}^{\ast}} BT\mathscr{T}の要素である。したがって、TBT\mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \mathscr{T}である。つまり、B\mathscr{B}を含む位相の中でTB\mathscr{T}_{\mathscr{B}}が最も小さい。

(a2)    (b2)(a2) \iff (b2)

(a2)    (b2)(a2) \implies (b2)

TB\mathscr{T}_{B}の定義により成立する。


(b2)    (a2)(b2) \implies (a2)

まず、B\mathscr{B}XXの基底になることを示そう。

  • (B1)(B1) 全体集合XXも開集合であるため、任意の点xXx \in Xに対して、