基底から生成される位相
📂位相幾何学基底から生成される位相
ビルドアップ
集合Xに対して、以下の三つの条件を満たすXの部分集合のコレクションTを集合X上の位相と言う。
- (T1) ∅,X∈T
- (T2) Uα∈T(α∈Λ)ならば⋃α∈ΛUα∈Tである。
- (T3) U1,⋯,Un∈Tならば⋂i=1nUi∈Tである。
簡単に言えば、空集合と全集合を持ち、和集合と可算交差に対して閉じている部分集合のコレクションを位相と言う。
集合Xに対して、以下の二つの条件を満たすXの部分集合のコレクションBを**X上の位相の基底と言う。線形代数の基底と混同しない場合は、通常単に集合Xの基底**と言う。
- (B1) 任意の点x∈Xに対して、x∈Bを満たすB∈Bが存在する。つまり⋃B∈BB=Xを満たす。
- (B2) 任意のB1,B2∈Bと点x∈(B1∩B2)に対して、x∈B3⊂(B1∩B2)を満たすB3∈Bが存在する。
定義
Bを集合Xの基底としよう。以下の条件を満たすXの部分集合UたちのコレクションTBを**Bが生成するX上の位相**と言う。
∀x∈U, ∃B∈Bs.t. x∈B⊂U
つまり、
TB={U⊂X : ∀x∈U, ∃B∈Bs.t. x∈B⊂U}
定理
- (0): TBはX上の位相である。
Bを集合X上の基底としよう。するとTBは以下のような性質を持つ。
- (a1): TBはBの要素たちの和集合のコレクションと同じである。
TB={B∈B∗⋃B : B∗⊂B}
- (b1) TBはBを含むX上の位相の中で最も小さい。
位相空間(X,T)が与えられたとしよう。B⊂Tに対して、以下の二つの事実は同値である。
- (a2): BはTの基底である。つまり、T=TBである。
- (b2): 任意の開集合U∈Tと点x∈Uに対して、x∈B⊂Uを満たすB∈Bが存在する。
説明
Bが位相空間(X,T)の基底であることは、T=TBを意味する。TBが実際に集合X上の位相になることを確認できる。
教科書によっては、(a1)を基底Bの定義として紹介することもある。
(a2)と(b2)は、与えられた位相から基底を見つけることを扱っている。その上で、与えられた基底からどのように位相を生成するかについて論じているが、反対に下では位相が与えられたときに、それを生成する基底をどのように見つけるかについて論じられている。
これを根拠に、ユークリッド空間Rn上の基底をオープンボールのコレクションとする。
証明
(0)
(T1)
x∈∅を満たすxが存在しないため、∅∈TBである。BがXの基底であるため、(B1)により、任意の点x∈Xに対して、x∈B⊂Xを満たすB∈Bが存在する。したがってX∈TB
(T2)
Uα∈TB (α∈Λ)としよう。任意の点x∈⋃α∈ΛUαに対して、x∈Uα0であるα0∈Λが存在する。Uα0∈TBであるため、TBの定義により、x∈B⊂Uα0を満たすB∈Bが存在する。したがって
x∈B⊂Uα0⊂α∈Λ⋃Uα
であるから、⋃α∈ΛUα∈TBである。(T3) U,V∈TBとしよう。任意の点x∈U∩Vに対して、x∈Uでありx∈Vであるため、TBの定義により
x∈B1⊂U,x∈B2⊂V
を満たすB1,B2∈Bが存在する。また、x∈B1∩B2であるため、(B2)により
x∈B3⊂B1∩B2⊂U∩V
を満たすB3∈Bが存在する。したがって、TBの定義によりU∩V∈TBである。
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(a1)
TB⊃{⋃B∈B∗B : B∗⊂B}Bの任意の部分集合B∗⊂Bに対して、U=⋃B∈B∗Bとしよう。すると、任意のx∈Uに対して、x∈Bx∈B∗が存在する。すると、x∈Bx⊂Uであるため、U∈TBである。TB⊂{⋃B∈B∗B : B∗⊂B}U∈TBとしよう。すると、TBの定義により、任意のx∈Uに対して、x∈Bx⊂Uを満たすBx∈Bが存在する。したがって、UはU=⋃x∈UBxのようにBの要素たちの和集合として表されるので、U∈{⋃B∈B∗B : B∗⊂B}である。
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(b1)
まず、TBがBを含むことを示そう。B∈Bとしよう。すると、x∈Bに対して、x∈B⊂Bを満たすB∈Bが存在するため、B∈TBである。次に、Bを含む集合X上の位相Tを考える。B∗⊂Bに対して、B∗⊂B⊂Tであれば、位相の定義(T1)により、⋃B∈B∗BもTの要素である。したがって、TB⊂Tである。つまり、Bを含む位相の中でTBが最も小さい。
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(a2)⟺(b2)
(a2)⟹(b2)
TBの定義により成立する。
(b2)⟹(a2)
まず、BがXの基底になることを示そう。
- (B1) 全体集合Xも開集合であるため、任意の点x∈Xに対して、
