📂数理物理学

方位角と方向余弦

定義¹

3次元ベクトル $\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$が与えられたとしよう。$\mathbf{a}$が$x$軸、$y$軸および$z$軸と成す角度をそれぞれ$\alpha$、$\beta$、$\gamma$としよう。これらを方向角^{direction angles}という。

方向角のコサイン $\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \gamma$を方向コサイン^{direction cosines}という。

性質

方向角の定義と内積の性質により、方向コサインは次の通りである。

$$\cos \alpha = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{i}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{i}|} = \dfrac{a_{1}}{|\mathbf{a}|},\quad \cos \beta = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{j}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{j}|} = \dfrac{a_{2}}{|\mathbf{a}|},\quad \cos \gamma = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{k}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{k}|} = \dfrac{a_{3}}{|\mathbf{a}|}$$

また、次が成り立つ。

$$\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = \dfrac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}{|\mathbf{a}|^{2}}= 1$$

ベクトル$\mathbf{a}$を次のように表現できる。

$$\begin{align*} \mathbf{a} &= (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ &= (|\mathbf{a}|\cos \alpha, |\mathbf{a}|\cos \beta, |\mathbf{a}|\cos \gamma) \\ &= |\mathbf{a}|(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \end{align*}$$

したがって、方向が$\mathbf{a}$と同じ単位ベクトルは次の通りである。

$$\dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$$