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数理統計学における条件付き確率分布 📂数理統計学

数理統計学における条件付き確率分布

定義

  1. 離散確率変数X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}に対し、次のp2,⋯ ,n∣1p_{2, \cdots , n \mid 1}をX1=x1X_{1} = x_{1}が与えられた時のX2,⋯ ,Xn X_{2}, \cdots , X_{n}の結合条件付き確率質量関数という。 p2,⋯ ,n∣1(x2,⋯ ,xn∣X1=x1)=p1,⋯ ,n(x1,x2,⋯ ,xn)p1(X1=x1) p_{2, \cdots , n \mid 1} ( x_{2} , \cdots ,x_{n} \mid X_{1} = x_{1} ) = {{ p_{1, \cdots , n}(x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}) } \over { p_{1}( X_{1} = x_{1} ) }}
  2. 連続確率変数X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}に対し、次のf2,⋯ ,n∣1f_{2, \cdots , n \mid 1}をX1=x1X_{1} = x_{1}が与えられた時のX2,⋯ ,Xn X_{2}, \cdots , X_{n}の結合条件付き確率密度関数という。 f2,⋯ ,n∣1(x2,⋯ ,xn∣X1=x1)=f1,⋯ ,n(x1,x2,⋯ ,xn)f1(X1=x1) f_{2, \cdots , n \mid 1} ( x_{2} , \cdots ,x_{n} \mid X_{1} = x_{1} ) = {{ f_{1, \cdots , n}(x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}) } \over { f_{1}( X_{1} = x_{1} ) }}
  3. X2,⋯ ,XnX_{2} , \cdots , X_{n}に対する関数uuが与えられた時、次をX1=x1X_{1} = x_{1}が与えられた時のu(X2,⋯ ,Xn)u( X_{2}, \cdots , X_{n} )の条件付き期待値という。 E[u(X2,⋯ ,Xn)∣X1=x1]=∫−∞∞⋯∫−∞∞u(x2,⋯ ,xn)f2,⋯ ,n∣1(x2,⋯ ,xn∣X1=x1)dx2⋯ ,dxn \begin{align*} & E \left[ u \left( X_{2} , \cdots , X_{n} \right) \mid X_{1} = x_{1} \right] \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} u (x_{2} , \cdots , x_{n}) f_{2 , \cdots , n \mid 1} (x_{2} , \cdots, x_{n} \mid X_{1} = x_{1}) dx_{2} \cdots , dx_{n} \end{align*}

定理

  • [1] 条件付き分散: Var⁡(X2∣X1=x1)=E[(X2−E(X2∣X1=x1))2∣X1=x1]=E(X22∣X1=x1)−[E(X2∣X1=x1)]2 \begin{align*} \Var (X_{2} | X_{1} = x_{1}) =& E \left[ \left( X_{2} - E (X_{2} \mid X_{1} = x_{1}) \right)^{2} \mid X_{1} = x_{1} \right] \\ =& E \left( X_{2}^{2} \mid X_{1} = x_{1} \right) - \left[ E(X_{2} \mid X_{1} = x_{1}) \right]^{2} \end{align*}
  • [2]: E[E(X2∣X1)]=E(X2)E \left[ E (X_{2} | X_{1}) \right] = E (X_{2} )
  • [3]: Var⁡(X2)\Var(X_{2})が存在すればVar⁡[E(X2∣X1)]≤Var⁡(X2)\Var \left[ E \left( X_{2} \mid X_{1} \right) \right] \le \Var (X_{2})

説明

条件付き確率、条件付き期待値は、教科課程のレベルであったように、数理統計学でも最も計算が難しい部分に属している。他のことはさておき、多変量である以上、計算が多くなるのは避けられない。もちろん、条件付きという概念にはその価値がある。一方で、主として微積分学に依存している数理統計学と異なり、測度論に基づいた確率論へと発展すると、その計算ははるかに簡潔になる。要旨は、「無視することはないが、過度に執着することもない」ということだ。

参照