確率論の混合定理の証明
定理
空間$S$が距離空間$( S , \rho)$であり、かつ可測空間$(S,\mathcal{B}(S))$だとしよう。
以下は全て同値である。
- (1): $P_{n} \overset{W}{\to} P$
- (2): すべての有界で一様連続関数$f$に対して$\displaystyle \int_{S} f dP_{n} \to \int_{S}f d P$
- (3): すべての閉集合$F$に対して$\displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)$
- (4): すべての開集合$G$に対して$\displaystyle P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G)$
- (5): $P(\partial A) = 0$であるすべての$A$に対して$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A) = P(A)$
説明
Portmanteauは「様々な要素で構成された」または「ハイブリッド」という意味を持つ英単語だ。これを直接ハイブリッド定理と翻訳するのはあまりスムーズではないが、伝統的には[ポートマントー]のように読み、それだけでは意味を推測するのが難しいから仕方なくハイブリッド定理と翻訳された。ハイブリッド定理は、確率測度だけでなく有限測度$\mu$に一般化することが可能であり、測度の弱収束に対する同値条件を提供するため非常に重要な定理である。
証明
戦略：証明にあたり、以下の表記を紹介する。詳細な説明を読むことを推奨する。
- 要素$x \in S$と部分集合$A \subset S$、そして$\delta >0$について $$ \rho (x, A) := \inf \left\{ \rho (x,a) : a \in A \right\} $$
$$ A^{\delta} := \left\{ x \in S : \rho (x, A) < \delta \right\} $$
- ある固定された$F \subset S$について $$ \begin{align*} f_{\delta}(x) :=& \left( 1 - \rho (x, F) / \delta \right)^{+} \\ =& \begin{cases} 1 &, x \in F \\ 1 - \rho (x,F)/\delta &, x \notin F \land x \in F^{\delta} \\ 0 &, x \notin F^{\delta} \end{cases} \end{align*} $$
Part 1. $(1) \implies (2)$
弱収束の定義により自明である。
Part 2. $(2) \implies (3)$
$$f_{\varepsilon}(x) : = \left( 1 - \rho ( x, F) / \varepsilon \right)^{+} $$ $f_{\varepsilon}$を上記のように定義すると$f_{\varepsilon}$は有界で一様連続である。また、すべての$\varepsilon > 0$に対して$I_{F}(x) \le f_{\varepsilon}(x) \le I_{F}^{\varepsilon} (x)$が存在するので $$ \int_{S} I_{F} dP_{n} \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \le \int I_{F^{\varepsilon}} dP_{n} $$ ここで$\displaystyle P_{n}(F) = \int_{F} dP_{n} = \int_{S} 1_{F} dP_{n}$なので $$ P_{n}(F) \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} $$ 両辺に$\displaystyle \limsup_{n \to \infty}$を適用すると、$f_{\varepsilon}$が有界で一様連続だったので、$(2)$により $$ \begin{align*} \displaystyle \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \le & \limsup_{n \to \infty} \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \\ =& \int_{S} f_{\varepsilon} dP \\ \le & P\left( F^{\varepsilon} \right) \end{align*} $$ 両辺に$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}$を適用すると、測度の上からの連続性に従い $$ \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) =& \lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \\ \le & \lim_{\varepsilon \to 0} P \left( F^{\varepsilon} \right) \\ =& P\left( \overline{F} \right) \end{align*} $$ $F$が閉集合である場合、$\overline{F} = F$なので $$ \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F) $$
Part 3. $(3) \iff (4)$
$G:= F^{c}$とすると、$G$は開集合である $$ \begin{align*} & \displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F) \\ \iff & -P(F) \le -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & 1 -P(F) \le 1 -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} \left[ 1 -P_{n}(F) \right] \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G) \end{align*} $$
Part 4. $(3),(4) \implies (5)$
内部、閉包、境界について簡単に見直してみよう。
$A^{\circ} \subset A \subset \overline{A}$ここで、内部$A^{\circ}$は$A$の最大の開部分集合であり、閉包$\overline{A}$は$A$の最小の閉包含む集合である。また、$A$の境界$\partial A = \overline{A} \setminus A^{\circ}$は当然$A^{\circ}$とは素である。
$(3)$に従って $$ \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}\left( \overline{A} \right) \le P \left( \overline{A} \right) $$ $(4)$に従って $$ P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n} \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) $$ $P \left( \partial A \right) = 0$であるから$P \left( A^{\circ} \right) = P(A) = P \left( \overline{A} \right)$が成り立ち、 $$ P(A) = P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le P \left( \overline{A} \right) = P(A) $$ 従って、 $$ \lim_{n \to \infty} P_{n}(A) = P(A) $$
Part 5. $(5) \implies (1)$
$g \in C_{b}(S)$、つまり$g$が$S$で定義された有界で連続な関数だとしよう。$A \in \mathcal{B}(S)$に対して$\nu$を以下のように定義しよう。 $$ \nu (A) := P \left( g^{-1} \left( A \right) \right) $$ $g$は有界だから、全ての$x \in S$に対して$a \le g(x) \le b$を満たす$a$、$b$を選ぶことができる。ここで、 $$ D := \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) = 0 \right\} $$ を考えると、 $$ D^{c} = \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > 0 \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\} $$ 自然数$n \in \mathbb{N}$が固定されれば、$ \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\}$は$\nu ( \mathbb{R}) < \infty$であるから有限集合でなければならない。有限集合でない場合、$\displaystyle \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{ 1 } \over { n }}$を満たす$\alpha$が無限に多いという意味で、これは$\nu ( \mathbb{R}) < \infty$に反する。したがって、$D^{c}$は有限集合の可算和集合であり、結局$\nu \left( \left\{ \alpha \right\} \right) > 0$を満たす$\alpha \in [a,b]$は多くても可算に多く存在する。
これで、次の3つの条件を満たす$t_{0} , \cdots , t_{m}$を選べる：
- (i): $a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{m} = b$
- (ii): $\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0$
- (iii): $t_{i} - t_{i-1} < \varepsilon$
これに対して$A_{i} = g^{-1} \left( [ t_{i-1} , t_{i} ) \right)$のように設定すると、$A_{i} \in \mathcal{B}(S)$であり、$\displaystyle \bigcup_{i=1}^{m} A_{i} = S$である。一方、連続関数の逆像は開閉性を保持するので、$g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right)$は$S$で開集合、$g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right)$は$S$で閉集合である。また、$A_{i}$の内部$A_{i}^{\circ}$は$A_{i}$の最大の開部分集合であり、閉包$\overline{A_{i}}$は$A_{i}$の最小の閉集合だから $$ g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right) \subset A_{i}^{\circ} \subset A_{i} \subset \overline{A_{i}} \subset g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right) $$ 一方、条件(ii)で$\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0$だったので、 $$ P \left( A_{i}^{\circ} \right) = P \left( A_{i} \right) = P \left( \overline{A_{i}} \right) $$ これは、$P \left( \partial A_{i} \right) = 0$であるため、仮定$(5)$によれば、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i})$である。 $$ h(x) := \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} 1_{A_{i}} (x) $$ 今、新たな関数$h$を上記のように定義しよう。$h$は$m$個の有限な関数値を持つ単純関数となり、条件**（iii）から$h(x) \le g(x) \le h(x) + \varepsilon$であることがわかる。 $$ \begin{align} \left| P_{n}(g) - P(g) \right| =& \left| \int_{S} g dP_{n} - \int_{S} g dP \right| \\ =& \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} + \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP + \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} \right| + \left| \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP \right| + \left| \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P_{n} - \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P \right| + \varepsilon \\ \le & 2 \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \left[ P_{n}(A_{i}) - P(A_{i}) \right] \right| \end{align} $$ 一方、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i})$だから、$n \to \infty$のとき$P_{n}(g) \to P(g)$である。$g$は有界で連続だから、弱収束の定義に従って$P_{n} \overset{W}{\to} P$である。
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