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確率論の混合定理の証明 📂確率論

確率論の混合定理の証明

定理

空間SSが距離空間(S,ρ)( S , \rho)であり、かつ可測空間(S,B(S))(S,\mathcal{B}(S))だとしよう。

以下は全て同値である。

  • (1): Pn→WPP_{n} \overset{W}{\to} P
  • (2): すべての有界で一様連続関数ffに対して∫SfdPn→∫SfdP\displaystyle \int_{S} f dP_{n} \to \int_{S}f d P
  • (3): すべての閉集合FFに対してlim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F)\displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)
  • (4): すべての開集合GGに対してP(G)≤lim inf⁡n→∞Pn(G)\displaystyle P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G)
  • (5): P(∂A)=0P(\partial A) = 0であるすべてのAAに対してlim⁡n→∞Pn(A)=P(A)\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A) = P(A)

説明

Portmanteauは「様々な要素で構成された」または「ハイブリッド」という意味を持つ英単語だ。これを直接ハイブリッド定理と翻訳するのはあまりスムーズではないが、伝統的には[ポートマントー]のように読み、それだけでは意味を推測するのが難しいから仕方なくハイブリッド定理と翻訳された。ハイブリッド定理は、確率測度だけでなく有限測度μ\muに一般化することが可能であり、測度の弱収束に対する同値条件を提供するため非常に重要な定理である。

証明

戦略：証明にあたり、以下の表記を紹介する。詳細な説明を読むことを推奨する。

  • 要素x∈Sx \in Sと部分集合A⊂SA \subset S、そしてδ>0\delta >0について ρ(x,A):=inf⁡{ρ(x,a):a∈A} \rho (x, A) := \inf \left\{ \rho (x,a) : a \in A \right\}

Aδ:={x∈S:ρ(x,A)<δ} A^{\delta} := \left\{ x \in S : \rho (x, A) < \delta \right\}

  • ある固定されたF⊂SF \subset Sについて fδ(x):=(1−ρ(x,F)/δ)+={1,x∈F1−ρ(x,F)/δ,x∉F∧x∈Fδ0,x∉Fδ \begin{align*} f_{\delta}(x) :=& \left( 1 - \rho (x, F) / \delta \right)^{+} \\ =& \begin{cases} 1 &, x \in F \\ 1 - \rho (x,F)/\delta &, x \notin F \land x \in F^{\delta} \\ 0 &, x \notin F^{\delta} \end{cases} \end{align*}

Part 1. (1)  ⟹  (2)(1) \implies (2)

弱収束の定義により自明である。

Part 2. (2)  ⟹  (3)(2) \implies (3)

fε(x):=(1−ρ(x,F)/ε)+f_{\varepsilon}(x) : = \left( 1 - \rho ( x, F) / \varepsilon \right)^{+} fεf_{\varepsilon}を上記のように定義するとfεf_{\varepsilon}は有界で一様連続である。また、すべてのε>0\varepsilon > 0に対してIF(x)≤fε(x)≤IFε(x)I_{F}(x) \le f_{\varepsilon}(x) \le I_{F}^{\varepsilon} (x)が存在するので ∫SIFdPn≤∫SfεdPn≤∫IFεdPn \int_{S} I_{F} dP_{n} \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \le \int I_{F^{\varepsilon}} dP_{n} ここでPn(F)=∫FdPn=∫S1FdPn\displaystyle P_{n}(F) = \int_{F} dP_{n} = \int_{S} 1_{F} dP_{n}なので Pn(F)≤∫SfεdPn P_{n}(F) \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} 両辺にlim sup⁡n→∞\displaystyle \limsup_{n \to \infty}を適用すると、fεf_{\varepsilon}が有界で一様連続だったので、(2)(2)により lim sup⁡n→∞Pn(F)≤lim sup⁡n→∞∫SfεdPn=∫SfεdP≤P(Fε) \begin{align*} \displaystyle \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \le & \limsup_{n \to \infty} \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \\ =& \int_{S} f_{\varepsilon} dP \\ \le & P\left( F^{\varepsilon} \right) \end{align*} 両辺にlim⁡ε→0\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}を適用すると、測度の上からの連続性に従い lim sup⁡n→∞Pn(F)=lim⁡ε→0lim sup⁡n→∞Pn(F)≤lim⁡ε→0P(Fε)=P(F‾) \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) =& \lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \\ \le & \lim_{\varepsilon \to 0} P \left( F^{\varepsilon} \right) \\ =& P\left( \overline{F} \right) \end{align*} FFが閉集合である場合、F‾=F\overline{F} = Fなので lim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F) \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)

Part 3. (3)  ⟺  (4)(3) \iff (4)

G:=FcG:= F^{c}とすると、GGは開集合である lim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F)  ⟺  −P(F)≤−lim sup⁡n→∞Pn(F)  ⟺  1−P(F)≤1−lim sup⁡n→∞Pn(F)  ⟺  P(G)≤lim inf⁡n→∞[1−Pn(F)]  ⟺  P(G)≤lim inf⁡n→∞Pn(G) \begin{align*} & \displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F) \\ \iff & -P(F) \le -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & 1 -P(F) \le 1 -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} \left[ 1 -P_{n}(F) \right] \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G) \end{align*}

Part 4. (3),(4)  ⟹  (5)(3),(4) \implies (5)

内部、閉包、境界について簡単に見直してみよう。

A∘⊂A⊂A‾A^{\circ} \subset A \subset \overline{A}ここで、内部A∘A^{\circ}はAAの最大の開部分集合であり、閉包A‾\overline{A}はAAの最小の閉包含む集合である。また、AAの境界∂A=A‾∖A∘\partial A = \overline{A} \setminus A^{\circ}は当然A∘A^{\circ}とは素である。

(3)(3)に従って lim sup⁡n→∞Pn(A)≤lim sup⁡n→∞Pn(A‾)≤P(A‾) \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}\left( \overline{A} \right) \le P \left( \overline{A} \right) (4)(4)に従って P(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A) P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n} \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) P(∂A)=0P \left( \partial A \right) = 0であるからP(A∘)=P(A)=P(A‾)P \left( A^{\circ} \right) = P(A) = P \left( \overline{A} \right)が成り立ち、 P(A)=P(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A)≤lim sup⁡n→∞Pn(A)≤P(A‾)=P(A) P(A) = P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le P \left( \overline{A} \right) = P(A) 従って、 lim⁡n→∞Pn(A)=P(A) \lim_{n \to \infty} P_{n}(A) = P(A)

Part 5. (5)  ⟹  (1)(5) \implies (1)

g∈Cb(S)g \in C_{b}(S)、つまりggがSSで定義された有界で連続な関数だとしよう。A∈B(S)A \in \mathcal{B}(S)に対してν\nuを以下のように定義しよう。 ν(A):=P(g−1(A)) \nu (A) := P \left( g^{-1} \left( A \right) \right) ggは有界だから、全てのx∈Sx \in Sに対してa≤g(x)≤ba \le g(x) \le bを満たすaa、bbを選ぶことができる。ここで、 D:={α:ν({α})=0} D := \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) = 0 \right\} を考えると、 Dc={α:ν({α})>0}=⋃n=1∞{α:ν({α})>1n} D^{c} = \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > 0 \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\} 自然数n∈Nn \in \mathbb{N}が固定されれば、{α:ν({α})>1n} \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\}はν(R)<∞\nu ( \mathbb{R}) < \inftyであるから有限集合でなければならない。有限集合でない場合、ν({α})>1n\displaystyle \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{ 1 } \over { n }}を満たすα\alphaが無限に多いという意味で、これはν(R)<∞\nu ( \mathbb{R}) < \inftyに反する。したがって、DcD^{c}は有限集合の可算和集合であり、結局ν({α})>0\nu \left( \left\{ \alpha \right\} \right) > 0を満たすα∈[a,b]\alpha \in [a,b]は多くても可算に多く存在する。

これで、次の3つの条件を満たすt0,⋯ ,tmt_{0} , \cdots , t_{m}を選べる：

  • (i): a=t0<t1<⋯<tm=ba = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{m} = b
  • (ii): ν({ti})=0\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0
  • (iii): ti−ti−1<εt_{i} - t_{i-1} < \varepsilon

これに対してAi=g−1([ti−1,ti))A_{i} = g^{-1} \left( [ t_{i-1} , t_{i} ) \right)のように設定すると、Ai∈B(S)A_{i} \in \mathcal{B}(S)であり、⋃i=1mAi=S\displaystyle \bigcup_{i=1}^{m} A_{i} = Sである。一方、連続関数の逆像は開閉性を保持するので、g−1((ti−1,ti))g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right)はSSで開集合、g−1([ti−1,ti])g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right)はSSで閉集合である。また、AiA_{i}の内部Ai∘A_{i}^{\circ}はAiA_{i}の最大の開部分集合であり、閉包Ai‾\overline{A_{i}}はAiA_{i}の最小の閉集合だから g−1((ti−1,ti))⊂Ai∘⊂Ai⊂Ai‾⊂g−1([ti−1,ti]) g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right) \subset A_{i}^{\circ} \subset A_{i} \subset \overline{A_{i}} \subset g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right) 一方、条件(ii)でν({ti})=0\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0だったので、 P(Ai∘)=P(Ai)=P(Ai‾) P \left( A_{i}^{\circ} \right) = P \left( A_{i} \right) = P \left( \overline{A_{i}} \right) これは、P(∂Ai)=0P \left( \partial A_{i} \right) = 0であるため、仮定(5)(5)によれば、lim⁡n→∞Pn(Ai)=P(Ai)\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i})である。 h(x):=∑i=1mti−11Ai(x) h(x) := \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} 1_{A_{i}} (x) 今、新たな関数hhを上記のように定義しよう。hhはmm個の有限な関数値を持つ単純関数となり、条件**（iii）からh(x)≤g(x)≤h(x)+εh(x) \le g(x) \le h(x) + \varepsilonであることがわかる。 $$ \begin{align} \left| P_{n}(g) - P(g) \right| =& \left| \int_{S} g dP_{n} - \int_{S} g dP \right| \\ =& \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} + \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP + \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} \right| + \left| \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP \right| + \left| \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P_{n} - \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P \right| + \varepsilon \\ \le & 2 \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \left[ P_{n}(A_{i}) - P(A_{i}) \right] \right| \end{align} $$ 一方、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i})$だから、$n \to \infty$のとき$P_{n}(g) \to P(g)$である。$g$は有界で連続だから、弱収束の定義に従って$P_{n} \overset{W}{\to} P$である。

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