完全有界空間

定義 ¹

距離空間 $(X,d)$ と $\varepsilon>0$ が与えられたとする。

全ての $x \in X$ に対して $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ を満たす有限集合 $A_{\varepsilon} \subset X$ を $X$ の** $\varepsilon$ -ネット**と言う。
全ての $\varepsilon > 0$ に対して、 $X$ の $\varepsilon$ -ネット $A_{\varepsilon}$ が存在するなら、 $X$ は完全有界と言う。

説明

完全有界空間は、一般にプリコンパクト空間とも呼ばれる。

$\varepsilon$ -ネット

$A_{\varepsilon}$ をネットと言うのは、条件 $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ を考慮した時、非常に直感的である。式を言葉に訳して考えると、与えられた空間 $X$ で任意の点を取っても、 $A_{\varepsilon}$ に引っかかるということだ。全ての点が許容誤差 $\varepsilon$ の内側で引っかかるなら、これをネットと呼ぶのはかなり妥当である。

完全有界

全ての $\varepsilon>0$ に対して、有限カバーだけを考えても $X$ をカバーできるということは、 $X$ が本当に小さくて扱いやすいという意味である。ある空間が完全有界であるということは、これを有限に分割して考えることができ、同時に距離空間であるから、その一つ一つも想像しやすい条件を備えているということである。

$A_{\varepsilon}$ が $\varepsilon$ -ネットになる条件 $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ で既視感を感じるなら、自分が位相数学とかなり仲がいいと思ってもいい。この条件は、ある空間が可分空間であるかを判定する方法でもほぼ同じ形で現れる。実際に、密度性との概念上の違いは、有限か無限かの違いである。無限集合に対して条件を満たすより、有限集合に対して条件を満たす方が難しく、次の定理も当然成立する。