📂多変数ベクトル解析

ベクトル値関数の極限と連続性

定義¹

三つのスカラー関数 $f, g, h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$に対して、ベクトル関数 $\mathbf{r} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$は次のようになるとする。 $$\mathbf{r}(t) = \left( f(t), g(t), h(t) \right)$$

$\mathbf{r}$の$a$での極限^limitは次のように定義される。

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left( \lim\limits_{t \to a} f(t), \lim\limits_{t \to a} g(t), \lim\limits_{t \to a} h(t) \right)$$

次の式が成り立てば、$\mathbf{r}$は$a$で連続^continuousであるという。

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$$

説明

スカラー関数の極限と連続性の定義をそのまま拡張したものである。$n$次元についても同じ方法で定義される。$\mathbf{r}(t) = \left( f_{1}(t), \dots, f_{n}(t) \right)$について、

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left( \lim\limits_{t \to a} f_{1}(t), \dots, \lim\limits_{t \to a} f_{n}(t) \right)$$