📂位相幾何学

位相空間論における部分基底

定義 ¹

位相空間$\left( X , \mathscr{T} \right)$に対して$\mathscr{S} \subset \mathscr{T}$とする。

$\displaystyle \mathscr{B} = \left\{ \left. B = \bigcap_{ i = 1}^{n} S_{i} \ \right| \ S_{i} \in \mathscr{S} \right\}$が$\mathscr{T}$の基底になるとき、$\mathscr{S}$を$\mathscr{T}$の部分基底^subbasisという。

説明

部分基底を受け入れにくい理由は、普通数学で「部分」をつけるときは、部分集合でありながら元の性質を保つからである。例えば部分群なら部分集合が群の条件を満たすとき、部分空間なら部分集合が空間の条件を満たすといった具合だ。この意味で、部分基底は概念よりもその用語がまぎらわしくてより難しいと言えるだろう。

まず定義上、$\mathscr{S}$が部分基底になったなら、基底$\mathscr{B}$に対して部分集合、すなわち$\mathscr{S} \subset \mathscr{B}$であることは自明である。しかし$\mathscr{S}$はすべての有限交叉の集合として$\mathscr{B}$を構成してはじめて基底となるので、基底としてはまだ未熟だと表現することもできるだろう。

むしろこれまでの数学を考えてみると、部分基底は基底の基底になると言うほうがより自然である。問題は、「部分」ということを納得したとしても、依然として部分基底の定義そのものが複雑で奇怪だということだ。こうした面については、ただ後で位相空間の積のために学ばなければならないものだと受け入れるほうが気が楽である。それについてある程度勉強すれば、なぜよりによって有限交叉を考えるのかもわかるようになるだろう。

では例を見ながら少しでも概念をつかんでみよう。

例

$\mathscr{S} = \left\{ (- \infty , b ), ( a , \infty ) \ | \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$が距離空間$\mathbb{R}$の部分基底であることを示せ。

解答

二つの開区間$( - \infty , b )$と$( a , \infty )$の交叉としてすべての開区間$(a,b)$の集合をなすことができるので、$\mathscr{S}$は部分基底となる。

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