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ハーディ・リトルウッドの極大関数 📂測度論

ハーディ・リトルウッドの極大関数

定義1

fLloc1 f \in L^1_{\mathrm{loc}}とする。そうすると、ハーディ・リトルウッドの極大関数HfHfは次のように定義される。

Hf(x):=supr>0Arf(x)=supr>01μ(B(r,x))B(r,x)f(y)dy Hf (x) := \sup \limits_{r>0} A_{r} |f|(x) = \sup \limits_{r>0} \frac{1}{\mu \big( B(r,x) \big)}\int_{B(r,x)}|f(y)|dy

Arf(x)A_{r}f(x)Br(x)B_{r}(x)の上でffの関数値の平均を意味する。HH極大演算子maximal operatorという。

定理

  • HfHfはルベーグ可測関数である。
  • fLloc1f \in L^1_{\mathrm{loc}}の場合、Arf(x)A_{r}f(x)r>0r>0およびxRnx \in \mathbb{R}^nに関してそれぞれ連続である。

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), 96ページ ↩︎