📂幾何学

直線上の内分点と外分点の求め方

定理

数直線上の点$A(x_{1})$と点$B(x_{2})$を$m:n$で内分する点$P(x)$の座標は$\displaystyle x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$であり、$m:n$で外分する点$Q(x)$の座標は$\displaystyle x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$だ。

説明

内分点や外分点の公式を見てみると、符号だけが違うことが分かる。両方の式を覚える必要はなく、内分点の公式だけ覚えて符号を変えて使えばいい。実は導出過程が簡単で速いから、わざわざ覚える必要もないんだ。

証明

内分点

$$\overline{AP}:\overline{PB} = m:n$$

$$\implies x-x_{1}:x_{2}-x=m:n$$

$$\implies mx_{2}-mx=nx-nx_{1}$$

$$\implies mx+nx=mx_{2}+nx_{1}$$

$$\implies (m+n)x=mx_{2}+nx_{1}$$

$$\implies x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$$

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外分点

$$\overline{AQ}:\overline{BQ} = m:n$$

$$\implies x-x_{1}:x-x_{2}=m:n$$

$$\implies mx-mx_{2}=nx-nx_{1}$$

$$\implies mx-nx=mx_{2}-nx_{1}$$

$$\implies (m-n)x=mx_{2}-nx_{1}$$

$$\implies x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$$

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